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LE THÉORÈME DE DUALITÉ DE PONTRYAGIN
TS II.221
nulle. Cela contredit le fait que f = 0 dans L 1 (
G), et démontre que η
est surjective.
La mesure image η(dx) et la mesure ν duale de la mesure dχ sont
des mesures de Haar sur
G. Soit f un élément non nul de A(G) ; en
particulier f ∈ L 2 (G). D’après la prop. 12 de II, p. 219, F G (f ) ∈ L 1 (
G)
et l’on a
G
G
(F G (f ))
2
η(dx) =
G
|f |
2 dx =
G
G
(F G (f ))
2
dν,
où la deuxième égalité suit de deux applications de la formule de Plancherel, donc la mesure de Haar duale de dχ est la mesure η(dx).
Nous identifierons dorénavant G et
G par l’isomorphisme η. On a
alors :
Corollaire. — La cotransformation de Fourier de L 2 (
G) sur L 2 (G)
et la transformation de Fourier de L 2 (G) sur L 2 (
G) sont des isométries
réciproques l’une de l’autre.
Remarque. — Soient f ∈ L 2 (G) et g ∈ L 2 (
G). En appliquant la formule de Plancherel (24) à f et F
G
(g), on obtient la formule
(29)
G
f (x)F
G
(g)(x)dx =
G
F G (f )(χ)g(χ)d x(χ)
puisque l’on a F G (F
G
(g)) = F G (F
G
(g)) = g.
La transformation et la cotransformation de Fourier définies
sur M 1 (
G) sont à valeurs dans l’espace des fonctions continues
bornées sur G. Pour β ∈ M 1 (
G) et x ∈ G, on a
F
G
(β)(x) =
G
χ, xdβ(χ),
F
G
(β)(x) =
G
χ, xdβ(χ).
Les transformations de Fourier de G et
G sont également transposées
l’une de l’autre. Plus précisément :
Proposition 13. — Soient α ∈ M 1 (G) et β ∈ M 1 (
G). On a alors
(30)
F G (F
G
(β) · α) = β ∗ F G (α)
et en particulier
(31)
G
F
G
(β)(x)dα(x) =
G
F G (α)(χ)dβ(χ).