TS II.220
TRANSFORMATION DE FOURIER
§ 1
5. Le théorème de dualité de Pontryagin
Théorème 2 (Pontryagin). — L’application canonique η de G dans
G
est un isomorphisme de groupes topologiques. Il transforme la mesure
de Haar dx en la mesure de Haar biduale d
x.
Démontrons d’abord que η est injective et stricte. Il suffit pour cela
de montrer que pour tout voisinage U de e dans G, il existe un voisinage W de e dans
G tel que
−1
η (W) ⊂ U (lemme 2 de II, p. 200). Or
soit V un voisinage compact symétrique de e dans G tel que V 2 ⊂ U,
soit f une fonction continue positive sur G, à support contenu dans
V, et telle que f (e) > 0. Soit g =
f ∗ f . Alors g appartient à A(G),
son support est contenu dans U et g(e) > 0. De plus, F G (g) ∈ L 1 (
G)
d’après la prop. 11 de II, p. 217. L’ensemble W des ξ dans
G tels que
G
(F G (g))(ξ) − F
G
(F G (g))(e)
<
1
2
g(e)
est un voisinage de e dans
G puisque la fonction F
G
(F G (g)) est continue sur
G. Soit x ∈
−1
η (W). D’après la formule (26), on a
F
G
(F G (g))(η(x)) = g(x),
et donc |g(x) − g(e)| <
1
2 g(e). Cela implique g(x) = 0 et donc x ∈ U,
puisque le support de g est contenu dans U. Ainsi
−1
η (W) ⊂ U.
Démontrons que l’application η est surjective. Comme cette application est un homéomorphisme sur son image, le groupe η(G) est un
sous-groupe localement compact de
G. Il est donc fermé dans
G (TG,
III, p. 22, cor. 2). Raisonnons par l’absurde et supposons qu’il existe
un caractère ξ ∈
G tel que ξ ∈ η(G). Il existe alors (corollaire 1 de
II, p. 219) un élément f non nul de L 1 (
G) tel que F
G
(f ) soit nulle
sur η(G). Soit g ∈ L 1 (G). La fonction (x, χ) → g(x)f (χ)χ, x appartient à L 1 (G ×
G). D’après le th. de Lebesgue-Fubini (INT, V, §8, n
o 4,
th. 1, a)), il vient donc
G
f (χ)F G (g)(χ)dχ =
G
g(x)
G
f (χ)χ, xdχ
dx
=
G
g(x)F
G
(f )(η(x))dx = 0.
Puisque l’image de la transformation de Fourier est dense dans C 0 (
G)
(cor. de la prop 5 de II, p. 209), il en résulte que la mesure f · dχ est
TRANSFORMATION DE FOURIER
§ 1
5. Le théorème de dualité de Pontryagin
Théorème 2 (Pontryagin). — L’application canonique η de G dans
G
est un isomorphisme de groupes topologiques. Il transforme la mesure
de Haar dx en la mesure de Haar biduale d
x.
Démontrons d’abord que η est injective et stricte. Il suffit pour cela
de montrer que pour tout voisinage U de e dans G, il existe un voisinage W de e dans
G tel que
−1
η (W) ⊂ U (lemme 2 de II, p. 200). Or
soit V un voisinage compact symétrique de e dans G tel que V 2 ⊂ U,
soit f une fonction continue positive sur G, à support contenu dans
V, et telle que f (e) > 0. Soit g =
f ∗ f . Alors g appartient à A(G),
son support est contenu dans U et g(e) > 0. De plus, F G (g) ∈ L 1 (
G)
d’après la prop. 11 de II, p. 217. L’ensemble W des ξ dans
G tels que
G
(F G (g))(ξ) − F
G
(F G (g))(e)
<
1
2
g(e)
est un voisinage de e dans
G puisque la fonction F
G
(F G (g)) est continue sur
G. Soit x ∈
−1
η (W). D’après la formule (26), on a
F
G
(F G (g))(η(x)) = g(x),
et donc |g(x) − g(e)| <
1
2 g(e). Cela implique g(x) = 0 et donc x ∈ U,
puisque le support de g est contenu dans U. Ainsi
−1
η (W) ⊂ U.
Démontrons que l’application η est surjective. Comme cette application est un homéomorphisme sur son image, le groupe η(G) est un
sous-groupe localement compact de
G. Il est donc fermé dans
G (TG,
III, p. 22, cor. 2). Raisonnons par l’absurde et supposons qu’il existe
un caractère ξ ∈
G tel que ξ ∈ η(G). Il existe alors (corollaire 1 de
II, p. 219) un élément f non nul de L 1 (
G) tel que F
G
(f ) soit nulle
sur η(G). Soit g ∈ L 1 (G). La fonction (x, χ) → g(x)f (χ)χ, x appartient à L 1 (G ×
G). D’après le th. de Lebesgue-Fubini (INT, V, §8, n
o 4,
th. 1, a)), il vient donc
G
f (χ)F G (g)(χ)dχ =
G
g(x)
G
f (χ)χ, xdχ
dx
=
G
g(x)F
G
(f )(η(x))dx = 0.
Puisque l’image de la transformation de Fourier est dense dans C 0 (
G)
(cor. de la prop 5 de II, p. 209), il en résulte que la mesure f · dχ est