N
o 4
LA FORMULE D’INVERSION DE FOURIER
TS II.219
pour tout g ∈ L 2 (G). Comparant avec (28), on conclut que ϕ = F G (f )
dans L 2 (
G), puisque A(G) est contenu dans L 1 (G)∩L 2 (G) et que
A(G)
est dense dans L 2 (
G) (lemme 5 de II, p. 215).
Proposition 12 (Formule d’inversion de Fourier)
Soit f ∈ L 2 (G) telle que F G (f ) ∈ L 1 (
G). Alors on a f =
F
G
(F G (f )) ◦ η dans L 2 (G). Autrement dit, pour presque tout x ∈ G,
on a
f (x) =
G
x, xF G (f )( x)d x.
La fonction ϕ = F G (f ) appartient à L 1 (
G) ∩ L 2 (
G), et on obtient
la formule désirée en appliquant le lemme.
Corollaire 1. — Pour tout sous-ensemble fermé P de
G et tout
χ ∈
G n’appartenant pas à P, il existe une fonction f ∈ L 1 (G) telle
que F (f ) soit nulle sur P et non nulle en χ.
Comme, d’après (12), on a F (χf ) = ε χ ∗ F (f ) pour tout χ ∈
G, il
suffit de considérer le cas où χ est l’élément neutre de
G.
Soit U un voisinage compact symétrique de e ∈
G tel que U 2 ∩P = ∅.
Soit ϕ une fonction continue positive sur
G, nulle en dehors de U et
telle que ϕ(e) = 1. La fonction ϕ 1 = ϕ ∗ ϕ est alors nulle sur P et
ϕ 1 (e) > 0. Il suffit donc de démontrer que ϕ 1 appartient à l’image de
la transformation de Fourier sur L 1 (G). Or ϕ et ϕ 1 appartiennent à
L 1 (
G) ∩ L 2 (
G). Posons f = F (ϕ) ◦ η et f 1 = F (ϕ 1 ) ◦ η. Le lemme 6
implique que f et f 1 appartiennent à L 2 (G) et vérifient ϕ = F (f ) et
ϕ 1 = F (f 1 ). De plus
f 1 = F (ϕ ∗ ϕ) ◦ η = (F (ϕ) ◦ η)
2 = f
2 ,
et donc f 1 ∈ L 1 (G). Ainsi ϕ 1 = F (f 1 ) est bien dans l’image de L 1 (G)
par la transformation de Fourier.
Corollaire 2. — L’algèbre de Banach L 1 (G) est régulière (I, p. 89,
déf. 1).
D’après la prop. 1 de I, p. 88 et l’identification de la transformation
de Gelfand de L 1 (G) et de la cotransformation de Fourier de G, cela
découle du corollaire précédent.
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LA FORMULE D’INVERSION DE FOURIER
TS II.219
pour tout g ∈ L 2 (G). Comparant avec (28), on conclut que ϕ = F G (f )
dans L 2 (
G), puisque A(G) est contenu dans L 1 (G)∩L 2 (G) et que
A(G)
est dense dans L 2 (
G) (lemme 5 de II, p. 215).
Proposition 12 (Formule d’inversion de Fourier)
Soit f ∈ L 2 (G) telle que F G (f ) ∈ L 1 (
G). Alors on a f =
F
G
(F G (f )) ◦ η dans L 2 (G). Autrement dit, pour presque tout x ∈ G,
on a
f (x) =
G
x, xF G (f )( x)d x.
La fonction ϕ = F G (f ) appartient à L 1 (
G) ∩ L 2 (
G), et on obtient
la formule désirée en appliquant le lemme.
Corollaire 1. — Pour tout sous-ensemble fermé P de
G et tout
χ ∈
G n’appartenant pas à P, il existe une fonction f ∈ L 1 (G) telle
que F (f ) soit nulle sur P et non nulle en χ.
Comme, d’après (12), on a F (χf ) = ε χ ∗ F (f ) pour tout χ ∈
G, il
suffit de considérer le cas où χ est l’élément neutre de
G.
Soit U un voisinage compact symétrique de e ∈
G tel que U 2 ∩P = ∅.
Soit ϕ une fonction continue positive sur
G, nulle en dehors de U et
telle que ϕ(e) = 1. La fonction ϕ 1 = ϕ ∗ ϕ est alors nulle sur P et
ϕ 1 (e) > 0. Il suffit donc de démontrer que ϕ 1 appartient à l’image de
la transformation de Fourier sur L 1 (G). Or ϕ et ϕ 1 appartiennent à
L 1 (
G) ∩ L 2 (
G). Posons f = F (ϕ) ◦ η et f 1 = F (ϕ 1 ) ◦ η. Le lemme 6
implique que f et f 1 appartiennent à L 2 (G) et vérifient ϕ = F (f ) et
ϕ 1 = F (f 1 ). De plus
f 1 = F (ϕ ∗ ϕ) ◦ η = (F (ϕ) ◦ η)
2 = f
2 ,
et donc f 1 ∈ L 1 (G). Ainsi ϕ 1 = F (f 1 ) est bien dans l’image de L 1 (G)
par la transformation de Fourier.
Corollaire 2. — L’algèbre de Banach L 1 (G) est régulière (I, p. 89,
déf. 1).
D’après la prop. 1 de I, p. 88 et l’identification de la transformation
de Gelfand de L 1 (G) et de la cotransformation de Fourier de G, cela
découle du corollaire précédent.