TS II.218
TRANSFORMATION DE FOURIER
§ 1
D’après le lemme 4 de II, p. 213 et la proposition 9 de II, p. 214, on
a F (f ) ∈ L 1 (
G) pour toute fonction f ∈ A(G). D’après la formule de
Plancherel (24), pour f et g dans L 2 (G), on a
(27)
(f ∗
g)(e) =
G
F (f )(χ)F (g)(χ)d x(χ).
Soient f et g dans L 1 (G) ∩ L 2 (G) et h = f ∗
g ∈ A(G). Puisque la
transformation de Fourier est un morphisme involutif, la formule (27)
est l’assertion (25) pour la fonction h au point x = e. Par linéarité,
on en déduit que la formule (25) est valide au point x = e pour toute
fonction h ∈ A(G).
Soient x ∈ G et h ∈ A(G). Soit h 1 = ε x −1 ∗ h. Alors h 1 ∈ A(G)
et h 1 (e) = h(x). Comme de plus F (h 1 )(χ) = χ, xF (f )(χ) pour
tout χ ∈
G (cf. formule (11) de II, p. 208), la formule (25) pour la
fonction h 1 au point e implique la formule (25) pour h au point x.
Lemme 6. — Soit ϕ ∈ L 1 (
G) ∩ L 2 (
G). Alors f = F
G
(ϕ) ◦ η appartient
à L 2 (G) et F G (f ) = ϕ dans L 2 (
G).
La fonction f est continue et bornée sur G car ϕ ∈ L 1 (
G). Pour
toute fonction g ∈ L 1 (G) ∩ L 2 (G), on a
G
g(x)f (x)dx =
G
g(x)
G
χ, xϕ(χ)d x(χ)
dx
=
G
F G (g)(χ)ϕ(χ)d x(χ),
(28)
en appliquant le théorème de Lebesgue-Fubini (INT, V, §8, n
o 4, th. 1,
a)) à la fonction (x, χ) → g(x)ϕ(χ)χ, x qui est intégrable sur G ×
G
par rapport à la mesure produit dx ⊗ d x. On en déduit que
G
g(x)f (x)dx
G (g) 2 ϕ 2 = g 2 ϕ 2 ,
d’après la formule de Plancherel. La forme linéaire g →
G f g est donc
continue sur L 1 (G) ∩ L 2 (G), et comme L 1 (G) ∩ L 2 (G) est dense dans
l’espace hilbertien L 2 (G), on en déduit que f appartient à L 2 (G).
En appliquant alors le th. 1 de II, p. 215, on obtient d’autre part
G
g(x)f (x)dx =
G
F G (g)(χ)F G (f )(χ)d x(χ)
=
G
F G (g)(χ)F G (f )(χ)d x(χ)