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o 4
LA FORMULE D’INVERSION DE FOURIER
TS II.217
2) Les formules
(23)
F (f )
2 = f
2
pour f ∈ L 2 (G), ou bien
(24)
G
f (x)g(x)dx =
G
F (f )(χ)F (g)(χ)dχ
pour f et g dans L 2 (G), sont appelées « formules de Plancherel ».
Proposition 10. — Soit n 0 un entier et soient G 1 , · · · , G n des
groupes commutatifs localement compacts. Soient µ j , pour 1 j n,
des mesures de Haar sur G j . Soit G le groupe produit des groupes G j
pour 1 j n. Soit β l’isomorphisme de
G sur
G j de la prop. 2
de II, p. 206. La mesure de Haar sur
G duale de la mesure de Haar
produit µ = µ 1 ⊗ · · · ⊗ µ n sur G s’identifie au produit des mesures de
Haar
µ j .
En effet, pour toute famille (f j ) d’éléments non nuls de L 2 (G j ), la
fonction f sur G définie par (x j ) →
f j (x j ) appartient à L 2 (G), et
vérifie
G
|f |
2 dµ =
j
G j
|f j |
2 dµ j =
j
G j
|F G j (f )|
2 d µ j ,
d’après la formule de Plancherel, ce qui démontre que la mesure de
Haar produit des
µ j s’identifie à la mesure de Haar duale de µ.
4. La formule d’inversion de Fourier
Rappelons que tout élément f de A(G) est la classe d’une unique
fonction continue (prop. 7, b) de II, p. 210). Pour x ∈ G, on notera f (x)
la valeur de cette fonction en x.
Proposition 11. — Soit f ∈ A(G). Alors F (f ) ∈ L 1 (
G) et, pour
tout x ∈ G, on a
(25)
f (x) =
G
x, xF (f )( x)d x.
Autrement dit, pour f ∈ A(G), on a
(26)
f = F
G
(F G (f )) ◦ η,
où η désigne l’application canonique de G dans le groupe bidual
G.