TS II.216
TRANSFORMATION DE FOURIER
§ 1
dans L 2 (
G) et F (f ) = lim
g,B
F (g) dans C 0 (
G). Il existe donc une
suite (g n ) dans A(G) telle que F (g n ) converge vers Φ(f ) dans L 2 (
G)
et vers F (f ) dans C 0 (
G). D’après INT, IV, §3, n
o 4, th. 3 et cor. 1,
on a F (f ) = Φ(f ), et en particulier F (f ) ∈ L 2 (
G). Ceci achève de
prouver le théorème.
On note encore F l’isométrie de L 2 (G) sur L 2 (
G) définie dans le
théorème 1, et on l’appelle la transformation de Fourier dans L 2 (G). De
même, la cotransformation de Fourier admet un unique prolongement
isométrique à L 2 (G), encore appelé cotransformation de Fourier et
noté F .
Corollaire. — Supposons que G est compact et que dx est la mesure
de Haar normalisée sur G. Alors la famille des caractères unitaires
de G est une base orthonormale de L 2 (G).
Puisque G est compact, les caractères de G appartiennent à L 2 (G).
Pour χ et ξ dans
G, on a
G
χ, xξ, xdx = F G (dx)(χξ
−1 ),
donc la famille des caractères de G est orthonormale (prop. 6 de II,
p. 210). Elle est de plus totale car le produit scalaire de χ ∈
G et de
f ∈ L 2 (G) est égal à F G (f )(χ), et donc f est orthogonale à
G si et
seulement si F G (f ) est nulle dans L 2 (
G), si et seulement si f est nulle
(th. 1).
Remarques. — 1) Certaines des formules concernant la transformation de Fourier sur L 1 (G) s’étendent à la transformation de Fourier
sur L 2 (G). En particulier, pour f ∈ L 2 (G) et χ ∈
G, on a
F (f ) = (χ → F (f )(χ
−1 )) = F (f )
F (ε x ∗ f ) = η(x
−1 )F (f ),
F (ε x ∗ f ) = η(x)F (f )
F (χ f ) = ε χ ∗ F (f ),
F (χ f ) = ε χ ∗ F (f ).
Si σ est un automorphisme de G et ∆ le module de σ (INT, VII, §1,
n
o 4, déf. 4), alors pour f ∈ L 2 (G), on a
F (f ◦ σ) = ∆
−1
F (f ) ◦
σ
−1
dans L 2 (G).