N
o 3
LE THÉORÈME DE PLANCHEREL
TS II.215
Remarque. — Soit a un nombre réel > 0. Si l’on remplace dx par la
mesure a·dx, le produit de convolution des fonctions f et g ∈ L 1 (G) est
remplacé par a(f ∗ g). Nous avons vu (II, p. 209, remarque) que F (f )
est remplacée par a F (f ). Donc µ f est inchangée et ν est remplacée
par a −1 ·ν. En particulier, la mesure dx⊗d x sur G×
G est indépendante
du choix de la mesure de Haar sur G.
Lemme 5. — L’espace A(
G) est dense dans L 2 (
G).
Soit h un élément de L 2 (
G) orthogonal à
A(G). Pour f et g
dans A(G), on a F (f ) · F (g) = F (f ∗ g) ∈
A(G), donc h · F (f ) est
orthogonal à F (g). Ainsi, pour tout f ∈ A(G), la fonction h · F (f )
est orthogonale à
A(G). Mais h · F (f ) ∈ L 1 (
G), et
A(G) est dense
dans C 0 (
G), donc la mesure hF (f ) · ν est nulle, c’est-à-dire que
hF (f ) est ν-localement négligeable (INT, V, §5, n
o 3, cor. 2 de la
prop. 3). En particulier, h est ν-localement négligeable sur l’ensemble
Ω f des caractères χ tels que F (f )(χ) = 0. D’après le corollaire 2,
on en déduit que h est ν-localement négligeable, donc nulle puisque
h appartient à L 2 (
G). Cela conclut la preuve.
Théorème 1 (Plancherel). — La restriction de la transformation de
Fourier au sous-espace A(G) de L 2 (G) se prolonge de manière unique
en une isométrie Φ de L 2 (G) sur L 2 (
G).
De plus, si f ∈ L 1 (G) ∩ L 2 (G), sa transformée de Fourier appartient
à L 2 (
G) et coïncide dans L 2 (
G) avec Φ(f ).
D’après la formule (22), la restriction de F à A(G) est une isométrie du sous-espace A(G) de L 2 (G) sur le sous-espace
A(G) de L 2 (
G).
Comme A(G) est dense dans L 2 (G) (cor. 1 de II, p. 212), la transformation de Fourier se prolonge de manière unique en une isométrie Φ
de L 2 (G) sur un sous-espace fermé de L 2 (
G). Mais puisque son image
contient
A(G), qui est dense dans L 2 (
G) (lemme 5), l’application Φ
est surjective.
Soit maintenant f ∈ L 1 (G)∩L 2 (G) ; démontrons que sa transformée
de Fourier appartient à L 2 (
G). D’après la prop. 8, (iv) de II, p. 211,
et le fait que A(G) est un idéal de L 1 (G), il existe une base de filtre B
sur A(G) qui converge vers f à la fois dans L 1 (G) et dans L 2 (G). On
a alors
Φ(f ) = lim
g,B
Φ(g) = lim
g,B
F (g)
o 3
LE THÉORÈME DE PLANCHEREL
TS II.215
Remarque. — Soit a un nombre réel > 0. Si l’on remplace dx par la
mesure a·dx, le produit de convolution des fonctions f et g ∈ L 1 (G) est
remplacé par a(f ∗ g). Nous avons vu (II, p. 209, remarque) que F (f )
est remplacée par a F (f ). Donc µ f est inchangée et ν est remplacée
par a −1 ·ν. En particulier, la mesure dx⊗d x sur G×
G est indépendante
du choix de la mesure de Haar sur G.
Lemme 5. — L’espace A(
G) est dense dans L 2 (
G).
Soit h un élément de L 2 (
G) orthogonal à
A(G). Pour f et g
dans A(G), on a F (f ) · F (g) = F (f ∗ g) ∈
A(G), donc h · F (f ) est
orthogonal à F (g). Ainsi, pour tout f ∈ A(G), la fonction h · F (f )
est orthogonale à
A(G). Mais h · F (f ) ∈ L 1 (
G), et
A(G) est dense
dans C 0 (
G), donc la mesure hF (f ) · ν est nulle, c’est-à-dire que
hF (f ) est ν-localement négligeable (INT, V, §5, n
o 3, cor. 2 de la
prop. 3). En particulier, h est ν-localement négligeable sur l’ensemble
Ω f des caractères χ tels que F (f )(χ) = 0. D’après le corollaire 2,
on en déduit que h est ν-localement négligeable, donc nulle puisque
h appartient à L 2 (
G). Cela conclut la preuve.
Théorème 1 (Plancherel). — La restriction de la transformation de
Fourier au sous-espace A(G) de L 2 (G) se prolonge de manière unique
en une isométrie Φ de L 2 (G) sur L 2 (
G).
De plus, si f ∈ L 1 (G) ∩ L 2 (G), sa transformée de Fourier appartient
à L 2 (
G) et coïncide dans L 2 (
G) avec Φ(f ).
D’après la formule (22), la restriction de F à A(G) est une isométrie du sous-espace A(G) de L 2 (G) sur le sous-espace
A(G) de L 2 (
G).
Comme A(G) est dense dans L 2 (G) (cor. 1 de II, p. 212), la transformation de Fourier se prolonge de manière unique en une isométrie Φ
de L 2 (G) sur un sous-espace fermé de L 2 (
G). Mais puisque son image
contient
A(G), qui est dense dans L 2 (
G) (lemme 5), l’application Φ
est surjective.
Soit maintenant f ∈ L 1 (G)∩L 2 (G) ; démontrons que sa transformée
de Fourier appartient à L 2 (
G). D’après la prop. 8, (iv) de II, p. 211,
et le fait que A(G) est un idéal de L 1 (G), il existe une base de filtre B
sur A(G) qui converge vers f à la fois dans L 1 (G) et dans L 2 (G). On
a alors
Φ(f ) = lim
g,B
Φ(g) = lim
g,B
F (g)