TS II.214
TRANSFORMATION DE FOURIER
§ 1
La formule (17) s’écrit maintenant, pour ϕ ∈ Stell(G) et f ∈ A(G) :
(20)
(ϕ ∗ f )(e) =
G
F (ϕ)F (f )dν.
En particulier, pour f et g dans A(G), on a
(21)
G
F (f )F (g)dν = (f ∗ g)(e) =
G
f (x)g(x
−1 )dx.
Proposition 9. — La mesure ν caractérisée par le lemme 4 est une
mesure de Haar sur
G.
Soit χ ∈ 𚵿
G. Pour f et g dans A(G), appliquons la formule (21) à
χ f et χ g. Le membre de droite est inchangé, d’où
ν(F (f ) F (g)) = ν(F (χ f ) F (χ g)).
D’après les formules (12) de II, p. 208 et (13) de II, p. 208, il vient
ν(F (f ) F (g)) = ν(ε χ ∗ (F (f )F (g))).
On déduit alors de INT, VIII, §4, n
o 3, prop. 7 que
ν(F (f )F (g)) = (ε χ −1 ∗ ν)(F (f )F (g)),
c’est-à-dire
(F (f ) · ν)(F (g)) = (F (f ) · (ε χ −1 ∗ ν))(F (g)).
Comme l’espace
A(G) est dense dans C 0 (
G) (cor. 1), il en résulte
l’égalité
F (f ) · ν = F (f ) · (ε χ −1 ∗ ν).
Les mesures ν et ε χ −1 ∗ ν coïncident donc sur l’ouvert Ω f où F (f )
est non nulle. D’après le corollaire 2 et INT, III, §2, n
o 1, cor. de la
prop. 1, ces mesures sont donc égales.
Ceci montre que la mesure ν est proportionnelle à une mesure de
Haar sur
G. Soit f ∈ A(G). Prenons g =
f dans la formule (21). Elle
s’écrit alors
(22)
G
|F (f )|
2 dν =
G
|f |
2 dx,
ce qui démontre que la mesure ν n’est pas nulle. La mesure ν est donc
une mesure de Haar sur
G.
Définition 4. — La mesure de Haar ν sur
G de la proposition 9 est
dite mesure duale de la mesure de Haar dx donnée sur G.
Nous noterons souvent dχ ou d x la mesure de Haar sur
G qui est
duale de la mesure de Haar dx.