N
o 3
LE THÉORÈME DE PLANCHEREL
TS II.213
continue sur Stell(G). Comme F est un isomorphisme de Stell(G)
sur C 0 (
G) (prop. 5 de II, p. 209), la première assertion en résulte.
Soient maintenant f et g dans A(G). Pour ϕ ∈ L 1 (G), on a
F (f ) · µ g
(F (ϕ)) =
G
F (ϕ)F (f )dµ g =
G
F (ϕ ∗ f )dµ g
= ((ϕ ∗ f ) ∗ g)(e).
(19)
Comme (ϕ ∗ f ) ∗ g = (ϕ ∗ g) ∗ f et comme l’image de L 1 (G) par la
transformation de Fourier est dense dans C 0 (
G) (cor. de II, p. 210), on
déduit de la formule (19) que la formule (18) est satisfaite pour tous
f et g dans A(G).
Lemme 4. — Il existe une unique mesure ν sur
G telle que
µ f = F (f ) · ν
pour tout f ∈ A(G). Pour f ∈ A(G), on a F (f ) ∈ L 1 (
G, ν)∩L 2 (
G, ν).
Soit f ∈ A(G). Notons Ω f l’ensemble ouvert dans
G formé des χ ∈
G
tels que F (f )(χ) = 0. Soit ϕ la fonction caractéristique de
G Ω f .
Pour tout g ∈ A(G), on a alors
G
F (g)d(ϕ · µ f ) =
G
ϕF (f )dµ g = 0
compte tenu de la formule (18).
D’après le corollaire 1 de II, p. 212, l’image
A(G) de A(G) par la
transformation de Fourier est dense dans C 0 (
G). On déduit alors de la
formule précédente que ϕ · µ f = 0, donc que µ f est concentrée sur Ω f
(INT, IV, §4, n
o 7, déf. 4). Soit ν f la mesure sur Ω f de densité F (f ) −1
par rapport à µ f |Ω f .
Les ensembles Ω f , pour f ∈ A(G), forment un recouvrement ouvert
de
G (cor. 2). Pour tous f et g dans A(G), la formule (18) démontre que
ν f |(Ω f ∩ Ω g ) = ν g |(Ω f ∩ Ω g ). Par suite, il existe une unique mesure ν
sur
G telle que l’on ait ν f = ν|Ω f pour tout f ∈ A(G) (INT, III, §2,
n
o 1, prop. 1).
Si f ∈ A(G), les mesures µ f et F (f ) · ν sont concentrées sur Ω f , et
leurs restrictions à Ω f sont égales à F (f ) · ν f ; ces mesures sont donc
égales.
Puisque µ f est une mesure bornée, la transformée de Fourier F (f )
appartient à l’espace L 1 (
G, ν). Comme, de plus, F (f ) appartient
à C 0 (
G), on a aussi F (f ) ∈ L 2 (
G, ν).
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LE THÉORÈME DE PLANCHEREL
TS II.213
continue sur Stell(G). Comme F est un isomorphisme de Stell(G)
sur C 0 (
G) (prop. 5 de II, p. 209), la première assertion en résulte.
Soient maintenant f et g dans A(G). Pour ϕ ∈ L 1 (G), on a
F (f ) · µ g
(F (ϕ)) =
G
F (ϕ)F (f )dµ g =
G
F (ϕ ∗ f )dµ g
= ((ϕ ∗ f ) ∗ g)(e).
(19)
Comme (ϕ ∗ f ) ∗ g = (ϕ ∗ g) ∗ f et comme l’image de L 1 (G) par la
transformation de Fourier est dense dans C 0 (
G) (cor. de II, p. 210), on
déduit de la formule (19) que la formule (18) est satisfaite pour tous
f et g dans A(G).
Lemme 4. — Il existe une unique mesure ν sur
G telle que
µ f = F (f ) · ν
pour tout f ∈ A(G). Pour f ∈ A(G), on a F (f ) ∈ L 1 (
G, ν)∩L 2 (
G, ν).
Soit f ∈ A(G). Notons Ω f l’ensemble ouvert dans
G formé des χ ∈
G
tels que F (f )(χ) = 0. Soit ϕ la fonction caractéristique de
G Ω f .
Pour tout g ∈ A(G), on a alors
G
F (g)d(ϕ · µ f ) =
G
ϕF (f )dµ g = 0
compte tenu de la formule (18).
D’après le corollaire 1 de II, p. 212, l’image
A(G) de A(G) par la
transformation de Fourier est dense dans C 0 (
G). On déduit alors de la
formule précédente que ϕ · µ f = 0, donc que µ f est concentrée sur Ω f
(INT, IV, §4, n
o 7, déf. 4). Soit ν f la mesure sur Ω f de densité F (f ) −1
par rapport à µ f |Ω f .
Les ensembles Ω f , pour f ∈ A(G), forment un recouvrement ouvert
de
G (cor. 2). Pour tous f et g dans A(G), la formule (18) démontre que
ν f |(Ω f ∩ Ω g ) = ν g |(Ω f ∩ Ω g ). Par suite, il existe une unique mesure ν
sur
G telle que l’on ait ν f = ν|Ω f pour tout f ∈ A(G) (INT, III, §2,
n
o 1, prop. 1).
Si f ∈ A(G), les mesures µ f et F (f ) · ν sont concentrées sur Ω f , et
leurs restrictions à Ω f sont égales à F (f ) · ν f ; ces mesures sont donc
égales.
Puisque µ f est une mesure bornée, la transformée de Fourier F (f )
appartient à l’espace L 1 (
G, ν). Comme, de plus, F (f ) appartient
à C 0 (
G), on a aussi F (f ) ∈ L 2 (
G, ν).