TS II.212
TRANSFORMATION DE FOURIER
§ 1
pour tout K dans B 0 et ϕ ∈ X K , il existe ψ ∈ X
K tel que ϕ = ψ ∗ ψ,
d’où ϕ∗f = ψ∗(ψ∗f ). On a ψ ∈ L 1 (G)∩L 2 (G) et ψ∗f ∈ L 1 (G)∩L 2 (G),
donc ϕ ∗ f ∈ A(G).
Corollaire 1. — L’espace A(G) est dense dans L 1 (G) et dans L 2 (G).
Il est également dense dans Stell(G), et son image
A(G) par la transformation de Fourier est dense dans C 0 (
G).
L’assertion (iv) de la proposition fournit la première assertion.
Puisque L 1 (G) est dense dans Stell(G), la seconde en résulte, et la
dernière découle alors de la prop. 5 de II, p. 209.
Corollaire 2. — Pour f ∈ A(G), soit Ω f l’ensemble des χ ∈
G tels
que F (f )(χ) = 0. Les ensembles Ω f forment un recouvrement ouvert
de
G.
Cela découle du corollaire précédent puisque, pour tout χ ∈
G,
l’application f → F (f )(χ) est un caractère non nul de L 1 (G).
Rappelons que la représentation régulière gauche γ de Stell(G)
sur L 2 (G) (cf. I, p. 125, n
o 13) est notée γ(ϕ)f = ϕ ∗ f pour
ϕ ∈ Stell(G) et f ∈ L 2 (G).
Lemme 3. — Pour tout f ∈ A(G), il existe une unique mesure bornée µ f sur
G telle que
(17)
(ϕ ∗ f )(e) =
G
F (ϕ)dµ f
quel que soit ϕ ∈ Stell(G).
De plus, pour tous f et g dans A(G), on a l’égalité
(18)
F (f ) · µ g = F (g) · µ f ,
entre la mesure de densité F (f ) par rapport à µ g et la mesure de
densité F (g) par rapport à µ f .
Soient f , g des éléments de L 1 (G) ∩ L 2 (G). Pour tout ϕ ∈ Stell(G),
on a ϕ ∗ f ∈ L 2 (G) et ϕ ∗ f 2 ϕ ∗ f 2 (I, p. 126, formule (8)).
De plus, on a ϕ ∗ (f ∗ g) = (ϕ ∗ f ) ∗ g (loc. cit., formule (9)). Cette
dernière fonction appartient à l’adhérence C 0 (G) de K (G) dans C (G)
(INT, VIII, §4, n
o 5, prop. 15). De plus, on a
ϕ ∗ (f ∗ g) ∞ ϕ ∗ f 2 g 2 ϕ ∗ f 2 g 2 .
Puisque les fonctions f ∗ g pour f et g dans L 1 (G) ∩ L 2 (G) engendrent A(G), on en déduit que ϕ ∗ f ∈ C 0 (G) pour tous f ∈ A(G) et
ϕ ∈ Stell(G), et que l’application ϕ → (ϕ ∗ f )(e) est une forme linéaire
TRANSFORMATION DE FOURIER
§ 1
pour tout K dans B 0 et ϕ ∈ X K , il existe ψ ∈ X
K tel que ϕ = ψ ∗ ψ,
d’où ϕ∗f = ψ∗(ψ∗f ). On a ψ ∈ L 1 (G)∩L 2 (G) et ψ∗f ∈ L 1 (G)∩L 2 (G),
donc ϕ ∗ f ∈ A(G).
Corollaire 1. — L’espace A(G) est dense dans L 1 (G) et dans L 2 (G).
Il est également dense dans Stell(G), et son image
A(G) par la transformation de Fourier est dense dans C 0 (
G).
L’assertion (iv) de la proposition fournit la première assertion.
Puisque L 1 (G) est dense dans Stell(G), la seconde en résulte, et la
dernière découle alors de la prop. 5 de II, p. 209.
Corollaire 2. — Pour f ∈ A(G), soit Ω f l’ensemble des χ ∈
G tels
que F (f )(χ) = 0. Les ensembles Ω f forment un recouvrement ouvert
de
G.
Cela découle du corollaire précédent puisque, pour tout χ ∈
G,
l’application f → F (f )(χ) est un caractère non nul de L 1 (G).
Rappelons que la représentation régulière gauche γ de Stell(G)
sur L 2 (G) (cf. I, p. 125, n
o 13) est notée γ(ϕ)f = ϕ ∗ f pour
ϕ ∈ Stell(G) et f ∈ L 2 (G).
Lemme 3. — Pour tout f ∈ A(G), il existe une unique mesure bornée µ f sur
G telle que
(17)
(ϕ ∗ f )(e) =
G
F (ϕ)dµ f
quel que soit ϕ ∈ Stell(G).
De plus, pour tous f et g dans A(G), on a l’égalité
(18)
F (f ) · µ g = F (g) · µ f ,
entre la mesure de densité F (f ) par rapport à µ g et la mesure de
densité F (g) par rapport à µ f .
Soient f , g des éléments de L 1 (G) ∩ L 2 (G). Pour tout ϕ ∈ Stell(G),
on a ϕ ∗ f ∈ L 2 (G) et ϕ ∗ f 2 ϕ ∗ f 2 (I, p. 126, formule (8)).
De plus, on a ϕ ∗ (f ∗ g) = (ϕ ∗ f ) ∗ g (loc. cit., formule (9)). Cette
dernière fonction appartient à l’adhérence C 0 (G) de K (G) dans C (G)
(INT, VIII, §4, n
o 5, prop. 15). De plus, on a
ϕ ∗ (f ∗ g) ∞ ϕ ∗ f 2 g 2 ϕ ∗ f 2 g 2 .
Puisque les fonctions f ∗ g pour f et g dans L 1 (G) ∩ L 2 (G) engendrent A(G), on en déduit que ϕ ∗ f ∈ C 0 (G) pour tous f ∈ A(G) et
ϕ ∈ Stell(G), et que l’application ϕ → (ϕ ∗ f )(e) est une forme linéaire