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LE THÉORÈME DE PLANCHEREL
TS II.211
On note
A(G) l’image de A(G) par la transformation de Fourier.
C’est un sous-espace de C 0 (
G).
Proposition 8. — Il existe une base de filtre B sur A(G) ∩ K + (G)
telle que les conditions suivantes soient vérifiées :
(i) Pour tout élément ϕ d’un ensemble de B, on a ϕ 1 = 1 et
F (ϕ) ∞ 1 ;
(ii) On a
lim
ϕ,B
ϕ · dx = ε e
dans l’espace C (G) des mesures à support compact sur G muni de
la topologie de la convergence uniforme sur les parties compactes
de C (G) ;
(iii) On a
lim
ϕ,B
F (ϕ) = 1
pour la topologie de la convergence compacte sur
G ;
(iv) Pour p = 1 ou p = 2, et pour tout f ∈ L p (G), on a ϕ ∗ f ∈
A(G) pour tout ϕ appartenant à un ensemble de B et
lim
ϕ,B
ϕ ∗ f = f
dans L p (G).
Soit K 0 un voisinage compact fixé de e dans G. Soit B 0 une base
du filtre des voisinages de e dans G formée de voisinages compacts
symétriques contenus dans K 0 (cf. TG, III, p. 4). Pour K ∈ B 0 ,
soit X
K l’ensemble des fonctions ψ ∈ K + (G) telles que Supp(ψ) ⊂ K
et
ψ(x)dx = 1 ; il est non vide (lemme 1 de II, p. 200). Soit X K l’ensemble des fonctions ψ∗ψ pour ψ ∈ X
K . Il est non vide et contenu dans
A(G) ∩ K + (G). L’ensemble B dont les éléments sont les ensembles X K
pour K variant dans B 0 est une base de filtre sur A(G) ∩ K + (G).
Démontrons que B vérifie les propriétés demandées.
Si X ∈ B et ϕ ∈ X, on a ϕ 1 =
G ϕ(x)dx = 1, donc F (ϕ) ∞ 1,
ce qui établit la propriété (i).
La propriété (ii) résulte de INT, VIII, § 2, n o 7, corollaire 1 du
lemme 4. Une partie compacte de
G est une partie compacte de C (G),
donc (ii) entraîne lim
ϕ,B
F (ϕ) = 1 pour la topologie de la convergence
compacte sur
G, c’est-à-dire (iii).
Finalement, soit p = 1 ou p = 2. Soit f ∈ L p (G). On a ϕ ∗ f → f
dans L p (G) selon le filtre B (INT, VIII, §4, n o 7, prop. 20). De plus,