TS II.210
TRANSFORMATION DE FOURIER
§ 1
Corollaire. — L’image de L 1 (G) par la transformation de Fourier
de G est dense dans C 0 (
G).
Puisque L 1 (G) est dense dans Stell(G), cela découle de la proposition 5.
Proposition 6. — Supposons que G est compact. La mesure de
Haar normalisée dx appartient à M 1 (G), et sa transformée de
Fourier est ϕ e , la fonction caractéristique de {e}.
Soit χ ∈
G. Puisque ε y ∗ dx = dx pour tout y ∈ G, on a
F (dx)(χ) = χ, yF (dx)(χ)
d’après la formule (11). Si χ = 1, il existe y ∈ G tel que χ, y = 1,
donc F (dx)(χ) = 0. Si χ = 1, alors F (dx)(χ) =
G dx = 1 puisque la
mesure dx est normalisée.
3. Le théorème de Plancherel
On note A(G) le sous-espace vectoriel de L 1 (G) engendré par les
fonctions f ∗ g pour f, g ∈ L 1 (G) ∩ L 2 (G).
Proposition 7. — L’espace A(G) est un idéal auto-adjoint de L 1 (G).
Il est contenu dans L 1 (G) ∩ L 2 (G), et dans l’image de C (G) dans
L 1 (G).
Soit f ∈ L 1 (G). Pour tout g ∈ L 2 (G), on a f ∗ g ∈ L 1 (G) (INT,
VIII, §4, n
o 5, prop. 12). Par conséquent, l’espace L 1 (G) ∩ L 2 (G) est
un idéal de L 1 (G), et il en est de même de l’espace A(G). L’idéal A(G)
est auto-adjoint.
Soient f et g dans L 2 (G). Le produit de convolution f ∗ g est alors
la classe de la fonction continue donnée par
y →
G
f (yx
−1 )g(x)dx
(INT, VIII, §4, n
o 5, prop. 15). La seconde assertion en résulte.
Comme χ(f ∗ g) = (χf ) ∗ (χg) pour χ ∈
G, f ∈ L 1 (G) et g ∈ L 1 (G)
(INT, VIII, §3, n
o 1, prop. 6), on a χh ∈ A(G) pour tout h ∈ A(G)
et χ ∈
G. Comme ε x ∗ f = γ(x)f et la représentation linéaire γ est
isométrique sur L p (G) pour tout p (INT, VIII, §2, n
o 5, prop. 8), on a
ε x ∗ f ∈ A(G) pour tous x ∈ G et f ∈ A(G).