N
o 2
DÉFINITION DE LA TRANSFORMATION DE FOURIER
TS II.209
(cf. loc. cit., formule (31)).
Si l’on identifie
G et X(L 1 (G)) (prop. 1 de II, p. 202), la cotransformation de Fourier n’est autre que la transformation de Gelfand de
l’algèbre de Banach L 1 (G) (I, p. 7, déf. 5).
Proposition 4. — La transformation de Fourier et la cotransformation de Fourier sont des morphismes injectifs d’algèbres involutives
de L 1 (G) dans l’algèbre C 0 (
G) des fonctions continues nulles à l’infini
sur
G.
La cotransformation de Fourier est un morphisme d’algèbres involutives de L 1 (G) dans l’algèbre des fonctions continues bornées sur
G
(prop. 3). Comme elle s’identifie à la transformation de Gelfand, son
image est contenue dans C 0 (
G) (I, p. 37, prop. 5), et son noyau est le
radical de L 1 (G) (prop. 8 de I, p. 38), qui est nul (cor. de la prop. 22
de I, p. 126).
Nous verrons ultérieurement (corollaire de la proposition 13 de II,
p. 221) que la cotransformation de Fourier sur M 1 (G) est également
injective.
Remarque. — La transformation de Fourier sur l’espace L 1 (G) dépend
du choix de la mesure de Haar dx, contrairement à la transformation
de Fourier sur M 1 (G). Si l’on remplace dx par la mesure a · dx (avec
a > 0), alors pour toute fonction f intégrable sur G, la transformée
de Fourier de f est a
f , où
f est la transformée de Fourier définie
relativement à la mesure dx.
Considérons l’algèbre stellaire Stell(G) du groupe G (déf. 9 de I,
p. 125), et identifions L 1 (G) à une sous-algèbre dense de Stell(G)
(prop. 22 de I, p. 126).
Proposition 5. — Par continuité, la transformation de Fourier et la
cotransformation de Fourier se prolongent de manière unique en des
isomorphismes d’algèbres stellaires de Stell(G) sur C 0 (
G).
La cotransformation de Fourier se prolonge par continuité en un
morphisme d’algèbres stellaires de Stell(G) dans C 0 (
G). Si l’on identifie
G avec X(Stell(G)) (cor. 1 de II, p. 204 et prop. 1 de II, p. 202),
ce prolongement est la transformation de Gelfand de Stell(G). D’après
le th. 1 de I, p. 108, c’est un isomorphisme. L’assertion concernant la
transformation de Fourier en découle.
On notera toujours F et F les isomorphismes de la prop. 5.
o 2
DÉFINITION DE LA TRANSFORMATION DE FOURIER
TS II.209
(cf. loc. cit., formule (31)).
Si l’on identifie
G et X(L 1 (G)) (prop. 1 de II, p. 202), la cotransformation de Fourier n’est autre que la transformation de Gelfand de
l’algèbre de Banach L 1 (G) (I, p. 7, déf. 5).
Proposition 4. — La transformation de Fourier et la cotransformation de Fourier sont des morphismes injectifs d’algèbres involutives
de L 1 (G) dans l’algèbre C 0 (
G) des fonctions continues nulles à l’infini
sur
G.
La cotransformation de Fourier est un morphisme d’algèbres involutives de L 1 (G) dans l’algèbre des fonctions continues bornées sur
G
(prop. 3). Comme elle s’identifie à la transformation de Gelfand, son
image est contenue dans C 0 (
G) (I, p. 37, prop. 5), et son noyau est le
radical de L 1 (G) (prop. 8 de I, p. 38), qui est nul (cor. de la prop. 22
de I, p. 126).
Nous verrons ultérieurement (corollaire de la proposition 13 de II,
p. 221) que la cotransformation de Fourier sur M 1 (G) est également
injective.
Remarque. — La transformation de Fourier sur l’espace L 1 (G) dépend
du choix de la mesure de Haar dx, contrairement à la transformation
de Fourier sur M 1 (G). Si l’on remplace dx par la mesure a · dx (avec
a > 0), alors pour toute fonction f intégrable sur G, la transformée
de Fourier de f est a
f , où
f est la transformée de Fourier définie
relativement à la mesure dx.
Considérons l’algèbre stellaire Stell(G) du groupe G (déf. 9 de I,
p. 125), et identifions L 1 (G) à une sous-algèbre dense de Stell(G)
(prop. 22 de I, p. 126).
Proposition 5. — Par continuité, la transformation de Fourier et la
cotransformation de Fourier se prolongent de manière unique en des
isomorphismes d’algèbres stellaires de Stell(G) sur C 0 (
G).
La cotransformation de Fourier se prolonge par continuité en un
morphisme d’algèbres stellaires de Stell(G) dans C 0 (
G). Si l’on identifie
G avec X(Stell(G)) (cor. 1 de II, p. 204 et prop. 1 de II, p. 202),
ce prolongement est la transformation de Gelfand de Stell(G). D’après
le th. 1 de I, p. 108, c’est un isomorphisme. L’assertion concernant la
transformation de Fourier en découle.
On notera toujours F et F les isomorphismes de la prop. 5.