TS II.208
TRANSFORMATION DE FOURIER
§ 1
(en particulier F (ε e ) = F (ε e ) = 1),
F (ε x ∗ µ)(χ) = χ, xF (µ)(χ),
F (ε x ∗ µ)(χ) = χ, x (µ)(χ),
(11)
F (χ · µ) = ε χ ∗ F (µ),
F (χ · µ) = ε χ −1 ∗ F (µ).
(12)
Les formules (8), (9), (10) et (11) découlent des définitions. Démontrons la première des formules (12), la seconde étant analogue. On a
pour tout ξ dans
G les égalités
F (χ · µ)(ξ) =
G
ξ, xχ, xdµ(x) =
G
ξχ −1 , xdµ(x)
= F (µ)(ξχ
−1 ) = (ε χ ∗ F (µ))(ξ).
Notons par ailleurs que pour tout χ ∈
G et toutes mesures µ et ν
dans M 1 (G), on a
(13)
(ε χ ∗ F (µ))(ε χ ∗ F (ν)) = ε χ ∗ (F (µ)F (ν)),
puisque les deux membres de cette égalité sont des fonctions sur
G
dont la valeur en ξ ∈
G est
F (µ)(ξχ
−1 )F (ν)(ξχ
−1 ).
Soit H un groupe localement compact commutatif et soit ϕ : G → H
un morphisme continu. Soit µ ∈ M 1 (G). La mesure image ϕ(µ) est
définie (INT, V, §6, n
o 1, remarque 1), et il vient F H (ϕ(µ)) = F G (µ) ◦
ϕ (cf. INT, V, §6, n
o 4, prop. 7).
Par restriction à la sous-algèbre L 1 (G) de M 1 (G), on obtient la
définition de la transformation de Fourier et de la cotransformation de
Fourier sur L 1 (G). On a donc pour f ∈ L 1 (G) et χ ∈
G :
(14) F G (f )(χ) =
G
χ, xf (x)dx,
F G (f )(χ) =
G
χ, xf (x)dx.
En particulier, F G (f ) = F G (f ). On a aussi
(15)
F (f )(χ) = χ(f )
pour tout f ∈ L 1 (G) et tout χ ∈
G.
Soient σ un automorphisme de G et ∆ le module de σ (INT, VII,
§1, n
o 4, déf. 4). Pour f ∈ L 1 (G), on a
(16)
F (f ◦ σ) = ∆
−1
F (f ) ◦
σ
−1
TRANSFORMATION DE FOURIER
§ 1
(en particulier F (ε e ) = F (ε e ) = 1),
F (ε x ∗ µ)(χ) = χ, xF (µ)(χ),
F (ε x ∗ µ)(χ) = χ, x (µ)(χ),
(11)
F (χ · µ) = ε χ ∗ F (µ),
F (χ · µ) = ε χ −1 ∗ F (µ).
(12)
Les formules (8), (9), (10) et (11) découlent des définitions. Démontrons la première des formules (12), la seconde étant analogue. On a
pour tout ξ dans
G les égalités
F (χ · µ)(ξ) =
G
ξ, xχ, xdµ(x) =
G
ξχ −1 , xdµ(x)
= F (µ)(ξχ
−1 ) = (ε χ ∗ F (µ))(ξ).
Notons par ailleurs que pour tout χ ∈
G et toutes mesures µ et ν
dans M 1 (G), on a
(13)
(ε χ ∗ F (µ))(ε χ ∗ F (ν)) = ε χ ∗ (F (µ)F (ν)),
puisque les deux membres de cette égalité sont des fonctions sur
G
dont la valeur en ξ ∈
G est
F (µ)(ξχ
−1 )F (ν)(ξχ
−1 ).
Soit H un groupe localement compact commutatif et soit ϕ : G → H
un morphisme continu. Soit µ ∈ M 1 (G). La mesure image ϕ(µ) est
définie (INT, V, §6, n
o 1, remarque 1), et il vient F H (ϕ(µ)) = F G (µ) ◦
ϕ (cf. INT, V, §6, n
o 4, prop. 7).
Par restriction à la sous-algèbre L 1 (G) de M 1 (G), on obtient la
définition de la transformation de Fourier et de la cotransformation de
Fourier sur L 1 (G). On a donc pour f ∈ L 1 (G) et χ ∈
G :
(14) F G (f )(χ) =
G
χ, xf (x)dx,
F G (f )(χ) =
G
χ, xf (x)dx.
En particulier, F G (f ) = F G (f ). On a aussi
(15)
F (f )(χ) = χ(f )
pour tout f ∈ L 1 (G) et tout χ ∈
G.
Soient σ un automorphisme de G et ∆ le module de σ (INT, VII,
§1, n
o 4, déf. 4). Pour f ∈ L 1 (G), on a
(16)
F (f ◦ σ) = ∆
−1
F (f ) ◦
σ
−1