N
o 2
DÉFINITION DE LA TRANSFORMATION DE FOURIER
TS II.207
Lorsque il n’y a pas d’ambiguïté concernant le groupe G considéré,
on écrira aussi F (µ) et F (µ). On note aussi parfois
µ = F G (µ).
Proposition 3. — Pour toute mesure µ ∈ M 1 (G), les fonctions
F G (µ) et F G (µ) sont continues et bornées. Les applications F G : µ →
F G (µ) et F G : µ → F G (µ) sont des morphismes continus de l’algèbre
involutive M 1 (G) dans l’algèbre involutive des fonctions continues bornées sur
G (exemple 1 de I, p. 99).
Soit µ ∈ M 1 (G). Pour tout χ ∈
G, on a
(7)
|F (µ)(χ)| =
G
χ, xdµ(x)
µ 1 ,
donc la transformée de Fourier de µ est bornée. Similairement, on
vérifie que F (µ) est bornée.
Si χ tend vers χ 0 dans
G, la fonction χ sur G tend vers χ 0 uniformément sur tout compact en restant bornée par la fonction constante 1
qui appartient à L 1 (G, µ). D’après le théorème de Lebesgue (INT, IV,
§3, n
o 7, th. 6), il en résulte que F (µ)(χ) tend vers F (µ)(χ 0 ). Donc
F (µ) est continue. Il en est de même de F (µ).
Pour tout χ ∈
G, l’application µ → χ(µ) =
xdµ(x) est un
caractère hermitien de M 1 (G) (lemme 1 de II, p. 202). Cela entraîne
que F et F sont des morphismes d’algèbres involutives de M 1 (G)
dans l’algèbre involutive des fonctions continues bornées sur
G. L’inégalité (7) démontre que ces morphismes sont continus.
La transformation de Fourier de G (resp. la cotransformation de
Fourier de G) est l’application µ → F G (µ) (resp. l’application µ →
F G (µ)) de M 1 (G) dans C b (
G).
Notons quelques formules utiles pour µ ∈ M 1 (G), x ∈ G et χ ∈
G :
F (µ)(χ) = F (µ)(χ
−1 ) = F (µ)(χ),
(8)
F (µ) ∞ = (µ) ∞ µ 1 ,
(9)
F (ε x )(χ) = χ, x,
F (ε x )(χ) = χ, x,
(10)
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DÉFINITION DE LA TRANSFORMATION DE FOURIER
TS II.207
Lorsque il n’y a pas d’ambiguïté concernant le groupe G considéré,
on écrira aussi F (µ) et F (µ). On note aussi parfois
µ = F G (µ).
Proposition 3. — Pour toute mesure µ ∈ M 1 (G), les fonctions
F G (µ) et F G (µ) sont continues et bornées. Les applications F G : µ →
F G (µ) et F G : µ → F G (µ) sont des morphismes continus de l’algèbre
involutive M 1 (G) dans l’algèbre involutive des fonctions continues bornées sur
G (exemple 1 de I, p. 99).
Soit µ ∈ M 1 (G). Pour tout χ ∈
G, on a
(7)
|F (µ)(χ)| =
G
χ, xdµ(x)
µ 1 ,
donc la transformée de Fourier de µ est bornée. Similairement, on
vérifie que F (µ) est bornée.
Si χ tend vers χ 0 dans
G, la fonction χ sur G tend vers χ 0 uniformément sur tout compact en restant bornée par la fonction constante 1
qui appartient à L 1 (G, µ). D’après le théorème de Lebesgue (INT, IV,
§3, n
o 7, th. 6), il en résulte que F (µ)(χ) tend vers F (µ)(χ 0 ). Donc
F (µ) est continue. Il en est de même de F (µ).
Pour tout χ ∈
G, l’application µ → χ(µ) =
xdµ(x) est un
caractère hermitien de M 1 (G) (lemme 1 de II, p. 202). Cela entraîne
que F et F sont des morphismes d’algèbres involutives de M 1 (G)
dans l’algèbre involutive des fonctions continues bornées sur
G. L’inégalité (7) démontre que ces morphismes sont continus.
La transformation de Fourier de G (resp. la cotransformation de
Fourier de G) est l’application µ → F G (µ) (resp. l’application µ →
F G (µ)) de M 1 (G) dans C b (
G).
Notons quelques formules utiles pour µ ∈ M 1 (G), x ∈ G et χ ∈
G :
F (µ)(χ) = F (µ)(χ
−1 ) = F (µ)(χ),
(8)
F (µ) ∞ = (µ) ∞ µ 1 ,
(9)
F (ε x )(χ) = χ, x,
F (ε x )(χ) = χ, x,
(10)