TS II.206
TRANSFORMATION DE FOURIER
§ 1
Par définition, on a χ ∈ Ker(
f ) si et seulement si la restriction de χ
à l’image de f est triviale.
Proposition 2. — Soit n 0 un entier et soient G 1 , . . . , G n des
groupes commutatifs localement compacts. Soit G le groupe produit des
groupes G j pour 1 j n. Pour 1 j n, soit λ j l’injection de G j
dans G qui associe à x ∈ G j l’élément (x k ) tel que x k = e si k = j et
x j = x. L’application
(
λ j ) 1jn :
G →
1jn
G j
est un isomorphisme de groupes topologiques.
Soit m l’application produit de
G n dans
G, et pour tout j tel que
1 j n, soit π j la projection de G sur G j . Soit µ le morphisme de
groupes topologiques m ◦ ( π j ) j de
G j dans
G, de sorte que
µ((χ j )), (x j ) =
n
j=1
χ j , x j .
L’application µ est continue, et on vérifie que µ et (
λ j ) sont des bijections réciproques l’une de l’autre. La proposition en résulte.
Remarque. — Le calcul du groupe dual d’un produit infini de groupes
compacts commutatifs est l’objet du corollaire 4 de II, p. 234 cidessous. Le cas d’un groupe localement compact commutatif qui est
un produit quelconque de groupes localement compacts découle de ces
deux énoncés, puisque dans un tel produit, tous les facteurs sauf un
nombre fini sont compacts (TG, I, p. 66, prop. 14, b)).
2. Définition de la transformation de Fourier
Définition 3. — Soit µ ∈ M 1 (G) une mesure complexe bornée
sur G. On appelle transformée de Fourier de µ la fonction F G (µ)
sur
G définie par
(5)
F G (µ)( x) =
G
x, xdµ(x).
On appelle cotransformée de Fourier de µ la fonction F G (µ) sur
G
definie par
(6)
F G (µ)( x) =
G
x, xdµ(x).