N
o 1
CARACTÈRES UNITAIRES
TS II.205
Corollaire 2. — Le groupe topologique
G est localement compact.
En effet, X(L 1 (G)) est localement compact (corollaire du théorème 1
de I, p. 29).
Nous identifierons
G avec X(L 1 (G)) et X(Stell(G)). Pour x ∈ G et
χ ∈
G, nous noterons χ, x le nombre complexe χ(x), qui appartient
à U.
On dit que x et χ sont orthogonaux si χ, x = 1. Soit A une partie
de G (resp. de
G) ; l’ensemble des éléments de
G (resp. de G) orthogonaux à A est un sous-groupe fermé de
G (resp. de G) qu’on appelle
orthogonal de A et qu’on note A ⊥ . L’orthogonal de G est réduit à e.
Pour x ∈ G, notons η(x) l’application de
G dans U définie par χ →
χ, x. Par définition de la multiplication dans
G, l’application η(x) est
un homomorphisme de groupes. Elle est continue puisque l’application
(x, χ) → →χ, x de G ×
G dans U est continue (TG, X, p. 28, th. 3).
Nous avons ainsi défini une application η, dite canonique, de G dans
le groupe bidual
G ; c’est un homomorphisme de groupes. De plus,
l’application η est continue (TG, X, p. 28, th. 3). Nous démontrerons
plus loin (II, p. 220, th. 2) que η est un isomorphisme de groupes
topologiques de G sur
G.
Soient G et H des groupes localement compacts commutatifs, et
ϕ : G → H un morphisme de groupes topologiques. Pour tout χ ∈
H,
l’application χ ◦ ϕ est un caractère de G noté
ϕ(χ). Cette définition se
traduit par la formule
(4)
χ, ϕ(x) =
ϕ(χ), x
quels que soient χ ∈
H et x ∈ G. On en déduit que
ϕ est un morphisme
du groupe topologique
H dans le groupe topologique
G ; on dit que
ϕ
est le dual du morphisme ϕ.
Soient K un groupe localement compact commutatif et ψ : H → K
un morphisme de groupes topologiques. La définition montre que
ψ ◦ ϕ =
ϕ ◦
ψ. Si ϕ est l’application identique de G, alors
ϕ est
l’application identique de
G. En particulier, si ϕ est un isomorphisme
de groupes topologiques, il en est de même de
ϕ, et
ϕ −1 est le dual de
ϕ −1 .
Lemme 2. — Soient G et H des groupes localement compacts commutatifs et soit f : H → G un morphisme de groupes topologiques. Le
noyau de
f est l’orthogonal de l’image de f .
o 1
CARACTÈRES UNITAIRES
TS II.205
Corollaire 2. — Le groupe topologique
G est localement compact.
En effet, X(L 1 (G)) est localement compact (corollaire du théorème 1
de I, p. 29).
Nous identifierons
G avec X(L 1 (G)) et X(Stell(G)). Pour x ∈ G et
χ ∈
G, nous noterons χ, x le nombre complexe χ(x), qui appartient
à U.
On dit que x et χ sont orthogonaux si χ, x = 1. Soit A une partie
de G (resp. de
G) ; l’ensemble des éléments de
G (resp. de G) orthogonaux à A est un sous-groupe fermé de
G (resp. de G) qu’on appelle
orthogonal de A et qu’on note A ⊥ . L’orthogonal de G est réduit à e.
Pour x ∈ G, notons η(x) l’application de
G dans U définie par χ →
χ, x. Par définition de la multiplication dans
G, l’application η(x) est
un homomorphisme de groupes. Elle est continue puisque l’application
(x, χ) → →χ, x de G ×
G dans U est continue (TG, X, p. 28, th. 3).
Nous avons ainsi défini une application η, dite canonique, de G dans
le groupe bidual
G ; c’est un homomorphisme de groupes. De plus,
l’application η est continue (TG, X, p. 28, th. 3). Nous démontrerons
plus loin (II, p. 220, th. 2) que η est un isomorphisme de groupes
topologiques de G sur
G.
Soient G et H des groupes localement compacts commutatifs, et
ϕ : G → H un morphisme de groupes topologiques. Pour tout χ ∈
H,
l’application χ ◦ ϕ est un caractère de G noté
ϕ(χ). Cette définition se
traduit par la formule
(4)
χ, ϕ(x) =
ϕ(χ), x
quels que soient χ ∈
H et x ∈ G. On en déduit que
ϕ est un morphisme
du groupe topologique
H dans le groupe topologique
G ; on dit que
ϕ
est le dual du morphisme ϕ.
Soient K un groupe localement compact commutatif et ψ : H → K
un morphisme de groupes topologiques. La définition montre que
ψ ◦ ϕ =
ϕ ◦
ψ. Si ϕ est l’application identique de G, alors
ϕ est
l’application identique de
G. En particulier, si ϕ est un isomorphisme
de groupes topologiques, il en est de même de
ϕ, et
ϕ −1 est le dual de
ϕ −1 .
Lemme 2. — Soient G et H des groupes localement compacts commutatifs et soit f : H → G un morphisme de groupes topologiques. Le
noyau de
f est l’orthogonal de l’image de f .