TS II.204
TRANSFORMATION DE FOURIER
§ 1
(INT, VI, §1, n
o 1, prop. 1) ce qui montre que ζ = ev χ . Par suite, ev
est surjective, donc bijective.
Montrons finalement que l’application réciproque ev −1 est continue.
Soit ζ ∈ X(L 1 (G)). Soit f ∈ L 1 (G) une fonction telle que ζ(f ) = 0.
L’ensemble W des ξ ∈ X(L 1 (G)) tels que ξ(f ) = 0 est un voisinage
ouvert de ζ dans X(L 1 (G)). Pour tout ξ ∈ W, ce qui précède montre
que ev −1 (ξ) est le caractère
x →
ξ(ε x ∗ f )
ξ(f )
.
Soit F un filtre sur W ⊂ X(L 1 (G)) convergeant vers ζ. Puisque l’ensemble X(L 1 (G)) est borné, donc équicontinu, dans L ∞ (G), la structure
uniforme de la convergence simple coïncide avec la structure uniforme
de la convergence compacte (TG, X, p. 16, th. 1). Soit K une partie compacte de G. L’ensemble des ε x ∗ f pour x ∈ K est compact
dans L 1 (G) (INT, VIII, §2, n
o 5, prop. 8). On a donc
lim
ξ,F
ξ(ε x ∗ f ) = ζ(ε x ∗ f )
uniformément pour x ∈ K. On en déduit que
lim
ξ,F
ev
−1 (ξ) = ev
−1 (ζ),
donc ev −1 est continue en ζ. Ceci achève la démonstration de la proposition.
Nous identifierons désormais un caractère unitaire χ de G au caractère f →
G f (x)χ(x)dx de L 1 (G).
Remarques. — 1) * La bijectivité de l’application de
G dans X(L 1 (G))
de la prop. 1 est un cas particulier de la correspondance entre représentations continues d’un groupe localement compact H (non nécessairement commutatif) et représentations continues de l’algèbre L 1 (H). *
2) L’application canonique de
G dans X(M 1 (G)) n’est pas surjective
en général (II, p. 308, exerc. 14).
Corollaire 1. — Tout caractère de L 1 (G) est hermitien. L’application canonique de X(Stell(G)) (déf. 9 de I, p. 125) dans X(L 1 (G)) est
un homéomorphisme.
La première assertion résulte de la proposition 1 et du lemme 1 en
restriction à L 1 (G). La seconde résulte de la première et du cor. de la
prop. 20 de I, p. 124.
TRANSFORMATION DE FOURIER
§ 1
(INT, VI, §1, n
o 1, prop. 1) ce qui montre que ζ = ev χ . Par suite, ev
est surjective, donc bijective.
Montrons finalement que l’application réciproque ev −1 est continue.
Soit ζ ∈ X(L 1 (G)). Soit f ∈ L 1 (G) une fonction telle que ζ(f ) = 0.
L’ensemble W des ξ ∈ X(L 1 (G)) tels que ξ(f ) = 0 est un voisinage
ouvert de ζ dans X(L 1 (G)). Pour tout ξ ∈ W, ce qui précède montre
que ev −1 (ξ) est le caractère
x →
ξ(ε x ∗ f )
ξ(f )
.
Soit F un filtre sur W ⊂ X(L 1 (G)) convergeant vers ζ. Puisque l’ensemble X(L 1 (G)) est borné, donc équicontinu, dans L ∞ (G), la structure
uniforme de la convergence simple coïncide avec la structure uniforme
de la convergence compacte (TG, X, p. 16, th. 1). Soit K une partie compacte de G. L’ensemble des ε x ∗ f pour x ∈ K est compact
dans L 1 (G) (INT, VIII, §2, n
o 5, prop. 8). On a donc
lim
ξ,F
ξ(ε x ∗ f ) = ζ(ε x ∗ f )
uniformément pour x ∈ K. On en déduit que
lim
ξ,F
ev
−1 (ξ) = ev
−1 (ζ),
donc ev −1 est continue en ζ. Ceci achève la démonstration de la proposition.
Nous identifierons désormais un caractère unitaire χ de G au caractère f →
G f (x)χ(x)dx de L 1 (G).
Remarques. — 1) * La bijectivité de l’application de
G dans X(L 1 (G))
de la prop. 1 est un cas particulier de la correspondance entre représentations continues d’un groupe localement compact H (non nécessairement commutatif) et représentations continues de l’algèbre L 1 (H). *
2) L’application canonique de
G dans X(M 1 (G)) n’est pas surjective
en général (II, p. 308, exerc. 14).
Corollaire 1. — Tout caractère de L 1 (G) est hermitien. L’application canonique de X(Stell(G)) (déf. 9 de I, p. 125) dans X(L 1 (G)) est
un homéomorphisme.
La première assertion résulte de la proposition 1 et du lemme 1 en
restriction à L 1 (G). La seconde résulte de la première et du cor. de la
prop. 20 de I, p. 124.