N
o 1
CARACTÈRES UNITAIRES
TS II.203
Soit ζ ∈ X(L 1 (G)) et soit f ∈ L 1 (G) telle que ζ(f ) = 0. Définissons
une application χ : G → C en posant, pour x ∈ G :
(3)
χ(x) =
ζ(ε x ∗ f )
ζ(f )
.
On a χ(e) = 1. Comme l’application x → ε x ∗ f = γ(x)(f ) de G
dans L 1 (G) est continue (INT, VIII, §2, n
o 5, prop. 8), l’application χ
est continue. Elle est bornée car, pour tout x ∈ G, on a
|χ(x)|
ε x ∗ f
|ζ(f )|
=
f
|ζ(f )|
(th. 1 de I, p. 29 et INT, VIII, loc. cit.).
Soit maintenant B une base du filtre des voisinages de e formée de
voisinages compacts. Pour tout V ∈ B, soit g V une fonction continue
positive, nulle en dehors de V et d’intégrale égale à 1 (lemme 1 de II,
p. 200). Pour toute fonction h ∈ L 1 (G), on a alors
ε x ∗ h = lim
V,B
(ε x ∗ h) ∗ g V = lim
V,B
(ε x ∗ g V ∗ h),
dans L 1 (G), la limite étant prise suivant le filtre des sections de B
(INT, VIII, §4, n
o 7, prop. 20). En particulier, comme ζ(ε x ∗ g V ∗ f ) =
ζ(ε x ∗ g V )ζ(f ), on en déduit que
χ(x) = lim
V,B
ζ(ε x ∗ g V ).
Pour tout h ∈ L 1 (G), on obtient
ζ(ε x ∗ h) = lim
V,B
ζ(ε x ∗ g V ∗ h) = ζ(h) lim
V,B
ζ(ε x ∗ g V ) = χ(x)ζ(h).
Par suite, on a pour x, y ∈ G :
χ(xy) =
ζ(ε x ∗ ε y ∗ f )
ζ(f )
=
χ(x)ζ(ε y ∗ f )
ζ(f )
= χ(x)χ(y),
ce qui démontre que χ est un homomorphisme de G dans C ∗ . Comme
χ est borné et continu, c’est un caractère unitaire de G. De plus, si
g ∈ L 1 (G), on a
g ∗ f =
G
(ε x ∗ f )g(x)dx
dans L 1 (G) (INT, VIII, §1, n
o 5, prop. 7), d’où
ζ(g)ζ(f ) = ζ(g ∗ f ) =
G
ζ(ε x ∗ f )g(x)dx
= ζ(f )
G
χ(x)g(x)dx = ev χ (g)ζ(f )