TS II.202
TRANSFORMATION DE FOURIER
§ 1
(cf. INT, VIII, §2, n
o 6).
Lemme 1. — Pour tout χ ∈
G, l’application µ → χ(µ) est un caractère
hermitien de l’algèbre de Banach involutive M 1 (G).
D’après INT, VIII, §3, n
o 3, prop. 11, l’application µ → χ(µ) est un
caractère de l’algèbre de Banach involutive M 1 (G). De plus, on a :
χ(µ
∗ ) =
G
χ(x
−1 )dµ(x) =
G
χ(x)dµ(x) = χ(µ)
et ce caractère est donc hermitien.
On a ainsi défini une application de
G dans X(M 1 (G)) ; on la qualifiera de canonique.
Soit χ ∈
G. La restriction de µ → χ(µ) à L 1 (G) est non nulle
(cf. INT, VIII, §2, n
o 7, prop. 10). Par restriction à la sous-algèbre
de Banach involutive L 1 (G), on obtient donc une application de
G
dans X(L 1 (G)), dite canonique. Elle associe à χ ∈
G le caractère hermitien
(2)
f → χ(f ) = χ(f · dx) =
G
f (x)χ(x) dx
(f ∈ L
1 (G))
de L 1 (G).
Proposition 1. — L’application canonique de
G dans X(L 1 (G)) est
un homéomorphisme.
Notons ev cette application canonique et, pour χ ∈
G, notons
ev χ l’image du caractère χ par ev, c’est-à-dire le caractère hermitien
f → χ(f ) de L 1 (G). Considérée comme une application de
G dans
le dual de L 1 (G), l’application ev est la composée de l’injection de
G
dans L ∞ (G), muni de la topologie faible σ(L ∞ (G), L 1 (G)), et de l’injection de L ∞ (G) dans le dual de L 1 (G), muni de la topologie de la
convergence simple. Comme
G est une partie bornée de L ∞ (G), la première application est continue d’après le théorème de Lebesgue (INT,
IV, §3, n
o 7, th. 6). La seconde est également continue, par définition.
Ceci démontre que l’application ev est continue.
Si χ ∈
G et si f ∈ L 1 (G), on a ev χ (ε x ∗ f ) = χ(x)ev χ (f ). En
prenant f telle que ev χ (f ) = 0, on en déduit que l’application ev est
injective.