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o 1
CARACTÈRES UNITAIRES
TS II.201
§ 1. TRANSFORMATION DE FOURIER
1. Caractères unitaires d’un groupe localement compact
commutatif
Définition 1. — On appelle caractère unitaire de G un homomorphisme continu de G dans le groupe multiplicatif U des nombres complexes de module 1.
Autrement dit, un caractère unitaire est une fonction continue χ
sur G, à valeurs complexes, telle que :
χ(xy) = χ(x)χ(y),
|χ(x)| = 1
(x, y ∈ G).
Dans ce chapitre, on dira souvent simplement « caractère » au lieu de
« caractère unitaire ».
Soit E un espace hilbertien de dimension 1, et soit χ un caractère
unitaire de G. L’application qui à x ∈ G fait correspondre l’homothétie
de rapport χ(x) dans E est une représentation linéaire continue isométrique de G dans E. Réciproquement, toute représentation linéaire
continue bornée de G dans E est obtenue par ce procédé, et en particulier est unitaire.
Il est immédiat que le produit de deux caractères unitaires, l’inverse
d’un caractère unitaire, et la fonction constante égale à 1 sont des
caractères unitaires. Par suite, l’ensemble
G des caractères unitaires
de G est un groupe pour la multiplication. Ce groupe est commutatif.
D’autre part, l’application (χ 1 , χ 2 ) → χ 1 χ
−1
2 = χ 1 χ 2 est continue pour
la topologie de la convergence compacte et
G muni de la topologie
de la convergence compacte est un groupe topologique (TG, X, p. 6,
corollaire 2 et remarque 1).
Définition 2. — Le groupe topologique
G est appelé le groupe dual
de G.
Puisque G est localement compact, l’application (x, χ) → χ(x) est
continue sur G ×
G (TG, X, p. 28, th. 3).
Rappelons que M 1 (G) désigne l’algèbre de Banach involutive unifère des mesures complexes bornées sur G (exemple 4 de I, p. 99). Pour
toute mesure complexe bornée µ ∈ M 1 (G) et tout χ ∈
G, on note
(1)
χ(µ) =
G
χ(x) dµ(x)