TS II.200 GROUPES LOCALEMENT COMPACTS COMMUTATIFS Chapitre II
gf est essentiellement intégrable pour µ ; on a alors
(f · µ)(g) =
X
gd(f · µ) =
X
gf dµ = µ(gf ).
Si G est un groupe topologique compact, on appelle mesure de Haar
normalisée sur G l’unique mesure de Haar µ sur G telle que µ(G) = 1.
Si X est un espace topologique discret, on appelle mesure de comptage sur X la mesure discrète µ sur X telle que µ({x}) = 1 pour tout
x ∈ X. Si G est un groupe topologique discret, la mesure de comptage
sur G est une mesure de Haar sur G.
Nous ferons aussi usage des deux lemmes suivants.
Lemme 1. — Soient X un espace topologique localement compact et µ
une mesure positive sur X. Soit x un élément du support de µ. Soit U
un voisinage ouvert de x. Il existe une fonction f ∈ K + (X) de support
contenu dans U telle que
f dµ = 1.
Par définition du support d’une mesure (INT, III, §2, n
o 2, déf. 1),
il existe une fonction g ∈ K (X) à support contenu dans U telle que
µ(g) = 0. On a alors µ(|g|) > 0 puisque µ est positive, et la fonction
f = µ(|g|) −1 |g| a les propriétés voulues.
Lemme 2. — Soient G et H des groupes topologiques d’éléments
neutres e G et e H ; supposons que le groupe topologique G est séparé.
Soit f un morphisme de groupes topologiques de G dans H. Supposons
que pour tout voisinage U de e G dans G, il existe un voisinage W de
e H dans H tel que
−1
f (W) ⊂ U. Alors, le morphisme f est injectif et
strict (TG, III, p. 16, déf. 1).
Les hypothèses impliquent que Ker(f ) est contenu dans tout voisinage de e G dans G, donc que Ker(f ) = {e G } puisque G est séparé.
L’homomorphisme de G dans f (G) déduit de f par passage aux sousespaces est alors bijectif ; notons g : f (G) → G l’homomorphisme réciproque. Les hypothèses entraînent alors que g est continu en e H , donc
continu (TG, III, p. 15, prop. 23).
gf est essentiellement intégrable pour µ ; on a alors
(f · µ)(g) =
X
gd(f · µ) =
X
gf dµ = µ(gf ).
Si G est un groupe topologique compact, on appelle mesure de Haar
normalisée sur G l’unique mesure de Haar µ sur G telle que µ(G) = 1.
Si X est un espace topologique discret, on appelle mesure de comptage sur X la mesure discrète µ sur X telle que µ({x}) = 1 pour tout
x ∈ X. Si G est un groupe topologique discret, la mesure de comptage
sur G est une mesure de Haar sur G.
Nous ferons aussi usage des deux lemmes suivants.
Lemme 1. — Soient X un espace topologique localement compact et µ
une mesure positive sur X. Soit x un élément du support de µ. Soit U
un voisinage ouvert de x. Il existe une fonction f ∈ K + (X) de support
contenu dans U telle que
f dµ = 1.
Par définition du support d’une mesure (INT, III, §2, n
o 2, déf. 1),
il existe une fonction g ∈ K (X) à support contenu dans U telle que
µ(g) = 0. On a alors µ(|g|) > 0 puisque µ est positive, et la fonction
f = µ(|g|) −1 |g| a les propriétés voulues.
Lemme 2. — Soient G et H des groupes topologiques d’éléments
neutres e G et e H ; supposons que le groupe topologique G est séparé.
Soit f un morphisme de groupes topologiques de G dans H. Supposons
que pour tout voisinage U de e G dans G, il existe un voisinage W de
e H dans H tel que
−1
f (W) ⊂ U. Alors, le morphisme f est injectif et
strict (TG, III, p. 16, déf. 1).
Les hypothèses impliquent que Ker(f ) est contenu dans tout voisinage de e G dans G, donc que Ker(f ) = {e G } puisque G est séparé.
L’homomorphisme de G dans f (G) déduit de f par passage aux sousespaces est alors bijectif ; notons g : f (G) → G l’homomorphisme réciproque. Les hypothèses entraînent alors que g est continu en e H , donc
continu (TG, III, p. 15, prop. 23).