chapitre ii
Groupes localement
compacts commutatifs
Dans tout ce chapitre, la lettre G désigne, sauf mention du contraire,
un groupe localement compact commutatif muni d’une mesure de Haar
notée généralement dx ; pour p ∈ [1, +∞], l’espace L p (G, dx) sera simplement noté L p (G), et sa norme sera notée f → →f p . On identifie
L 1 (G) à un sous-espace de M 1 (G) par l’application f → f · dx. On
rappelle que le support de la mesure de Haar est égal à G (INT, VII,
§1, n
o 1, remarque 3) ; en particulier (INT, III, §2, n
o 2, proposition 9),
l’application canonique de l’espace K (G) dans L p (G) est injective pour
p ∈ [1, +∞]. Pour p = +∞, on identifiera L p (G) à un sous-espace de
l’espace
F (G; C) des classes de fonctions à valeurs complexes sur G
définies et finies presque partout (INT, IV, §3, n
o 5, n
o 6). En particulier, la notation L 1 (G) ∩ L 2 (G) désigne l’intersection de L 1 (G) et
L 2 (G) dans cet espace. On note f →
f l’involution sur l’algèbre involutive L 1 (G) (exemple 4 de I, p. 99) ; on a
f (x) = f (x −1 ) pour tout x
dans G.
On rappelle (INT, V, §5, n
o 3, th. 1) que si µ est une mesure complexe sur un espace topologique localement compact X et si f est une
fonction localement µ-intégrable sur X, alors la mesure ν de densité f
par rapport à µ est notée f · µ ou encore f µ. Une fonction g de X dans
C est essentiellement intégrable pour la mesure ν si, et seulement si,
© N. Bourbaki 2019
N. Bourbaki, Théories spectrales, https://doi.org/10.1007/978-3-030-14064-9_2
199
Groupes localement
compacts commutatifs
Dans tout ce chapitre, la lettre G désigne, sauf mention du contraire,
un groupe localement compact commutatif muni d’une mesure de Haar
notée généralement dx ; pour p ∈ [1, +∞], l’espace L p (G, dx) sera simplement noté L p (G), et sa norme sera notée f → →f p . On identifie
L 1 (G) à un sous-espace de M 1 (G) par l’application f → f · dx. On
rappelle que le support de la mesure de Haar est égal à G (INT, VII,
§1, n
o 1, remarque 3) ; en particulier (INT, III, §2, n
o 2, proposition 9),
l’application canonique de l’espace K (G) dans L p (G) est injective pour
p ∈ [1, +∞]. Pour p = +∞, on identifiera L p (G) à un sous-espace de
l’espace
F (G; C) des classes de fonctions à valeurs complexes sur G
définies et finies presque partout (INT, IV, §3, n
o 5, n
o 6). En particulier, la notation L 1 (G) ∩ L 2 (G) désigne l’intersection de L 1 (G) et
L 2 (G) dans cet espace. On note f →
f l’involution sur l’algèbre involutive L 1 (G) (exemple 4 de I, p. 99) ; on a
f (x) = f (x −1 ) pour tout x
dans G.
On rappelle (INT, V, §5, n
o 3, th. 1) que si µ est une mesure complexe sur un espace topologique localement compact X et si f est une
fonction localement µ-intégrable sur X, alors la mesure ν de densité f
par rapport à µ est notée f · µ ou encore f µ. Une fonction g de X dans
C est essentiellement intégrable pour la mesure ν si, et seulement si,
© N. Bourbaki 2019
N. Bourbaki, Théories spectrales, https://doi.org/10.1007/978-3-030-14064-9_2
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