TS I.196
EXERCICES
§ 8
h) Pour toute partie antisymétique K de X, l’algèbre A|K est une sousalgèbre fermée de C (K). (Utiliser e) et g).)
i) Soit R l’ensemble des parties réelles des éléments de A. On suppose que
X ∈ R et que R est stable par multiplication. Alors X est réduit à un point.
(Soit x 0 ∈ X. Pour u ∈ R, il existe une unique f ∈ A telle que u = R(f ) et
f (x 0 ) ∈ R ; poser N(u) = f . Alors R est un espace de Banach réel pour
N ; le théorème du graphe fermé prouve que la multiplication dans R est
séparément continue donc continue. En déduire sur S = R + iR une structure
d’algèbre de Banach. Soit p ∈ R avec p(x) > 0 pour tout x ∈ X. Montrer que,
pour tout caractère χ de S, on a R(χ(p)) > 0, et en déduire que log(p) ∈ R.
Supposant X = {x 0 }, on peut construire une f ∈ A telle que 0 < R(f ) 1
sur X, f (x 0 ) ∈ R et telle que f soit arbitrairement grand. D’après ce qui
précède, il existe V ∈ A avec |V|
2 = R(f ). On a V 1 donc N(R(V)) 2,
mais
N(R(V)
2 )
1
2
(V
2 + f − |I (V)(x 0 )
2 |)
est arbitrairement grand.)
j) Si R est stable par multiplication, alors A = C (X). (Utiliser a), c), h),
i).) Par suite, si A = C (X), il existe u ∈ R telle que u
2 ∈ R.
11) Soit X un espace métrique, dont on note d la distance. Une fonction
f : X → C est dite lipschitzienne si il existe un nombre réel c 0 tel que,
pour tout x et y dans X, on a
|f (x) − f (y)| cd(x, y)
(cf. FVR, IV, p. 7, déf. 1). On note Lip b (X) l’ensemble des fonctions lipschitziennes bornées sur X.
a) L’ensemble Lip b (X) est une sous-algèbre de C (X).
b) Munie de la norme
f = sup
x∈X
|f (x)| + sup
x,y∈X
x =y
|f (x) − f (y)|
d(x, y)
,
et de l’involution f → f , l’algèbre Lip b (X) est une algèbre de Banach involutive commutative. Ce n’est pas une algèbre stellaire en général.
c) Pour toute algèbre de Banach commutative A, on note X m (A) l’espace
métrique X(A) muni de la distance induite par la norme du dual A
de A.
L’espace métrique X m (A) est complet et de diamètre 2.
d) Soit A une algèbre de Banach commutative unifère. La transformation
de Gelfand applique A dans Lip b (X m (A)). Si A est sans radical, alors elle
induit un homéomorphisme de A sur son image.
EXERCICES
§ 8
h) Pour toute partie antisymétique K de X, l’algèbre A|K est une sousalgèbre fermée de C (K). (Utiliser e) et g).)
i) Soit R l’ensemble des parties réelles des éléments de A. On suppose que
X ∈ R et que R est stable par multiplication. Alors X est réduit à un point.
(Soit x 0 ∈ X. Pour u ∈ R, il existe une unique f ∈ A telle que u = R(f ) et
f (x 0 ) ∈ R ; poser N(u) = f . Alors R est un espace de Banach réel pour
N ; le théorème du graphe fermé prouve que la multiplication dans R est
séparément continue donc continue. En déduire sur S = R + iR une structure
d’algèbre de Banach. Soit p ∈ R avec p(x) > 0 pour tout x ∈ X. Montrer que,
pour tout caractère χ de S, on a R(χ(p)) > 0, et en déduire que log(p) ∈ R.
Supposant X = {x 0 }, on peut construire une f ∈ A telle que 0 < R(f ) 1
sur X, f (x 0 ) ∈ R et telle que f soit arbitrairement grand. D’après ce qui
précède, il existe V ∈ A avec |V|
2 = R(f ). On a V 1 donc N(R(V)) 2,
mais
N(R(V)
2 )
1
2
(V
2 + f − |I (V)(x 0 )
2 |)
est arbitrairement grand.)
j) Si R est stable par multiplication, alors A = C (X). (Utiliser a), c), h),
i).) Par suite, si A = C (X), il existe u ∈ R telle que u
2 ∈ R.
11) Soit X un espace métrique, dont on note d la distance. Une fonction
f : X → C est dite lipschitzienne si il existe un nombre réel c 0 tel que,
pour tout x et y dans X, on a
|f (x) − f (y)| cd(x, y)
(cf. FVR, IV, p. 7, déf. 1). On note Lip b (X) l’ensemble des fonctions lipschitziennes bornées sur X.
a) L’ensemble Lip b (X) est une sous-algèbre de C (X).
b) Munie de la norme
f = sup
x∈X
|f (x)| + sup
x,y∈X
x =y
|f (x) − f (y)|
d(x, y)
,
et de l’involution f → f , l’algèbre Lip b (X) est une algèbre de Banach involutive commutative. Ce n’est pas une algèbre stellaire en général.
c) Pour toute algèbre de Banach commutative A, on note X m (A) l’espace
métrique X(A) muni de la distance induite par la norme du dual A
de A.
L’espace métrique X m (A) est complet et de diamètre 2.
d) Soit A une algèbre de Banach commutative unifère. La transformation
de Gelfand applique A dans Lip b (X m (A)). Si A est sans radical, alors elle
induit un homéomorphisme de A sur son image.