§ 8
EXERCICES
TS I.195
avec R(g n ) = f n . Alors e
−gn ∈ B, e
−gn 1, |e
−gn(x
) | = 1/e, |e
−gn(x) |
tend vers 1, ce qui contredit a).)
c) Il existe des mesures positives α et β sur X telles que f (x)−cf (x
) = α(f )
et f (x
) − cf (x) = β(f ) pour f ∈ R. Posant µ x = (1 − c
2 )
−1 (cβ + α),
µ x = (1 − c
2 )
−1 (cα + β), on a µ x (f ) = f (x) et µ x (f ) = f (x
) pour tout
f ∈ B, et cµ x µ x , cµ x µ x .
d) On suppose encore x ∼ x
. Montrer que si µ est une mesure positive sur
X telle que µ(f ) = f (x) pour tout f ∈ B, il existe une mesure positive µ
sur
X telle que µ
(f ) = f (x
) pour tout f ∈ B et cµ µ
pour un c ∈ ]0, 1[. (Avec
les notations de c), poser µ
= µ x − cµ x + cµ.)
e) La relation x ∼ x
est une relation d’équivalence dans X. (Utiliser d).)
¶ 10) Soient X un espace topologique compact et A une sous-algèbre de
Banach unifère de C (X) pour la norme induite.
a) Une partie K de X est dite antisymétrique (relativement à A) si toute
fonction f ∈ A qui est réelle sur K est constante sur K. Toute partie antisymétrique est contenue dans une partie antisymétrique maximale. Une partie antisymétrique maximale est fermée. L’ensemble R des parties antisymétriques
maximales est une partition de X.
b) Soit A
⊥ l’orthogonal de A dans l’espace de Banach des mesures complexes sur X. Soit µ un point extrémal de la boule unité de A
⊥ . Montrer que
le support de µ est antisymétrique.
c) Soit f ∈ C (X). Si f |K ∈ A|K pour tout K ∈ R, alors f ∈ A. (Appliquer
b) et le théorème de Krein–Milman.) Retrouver à partir de là le théorème de
Weierstrass–Stone (TG, X, p. 36, th. 3).
d) Une partie non vide E de X est appelée un pic (relativement à A) s’il
existe f ∈ A telle que f = 1 et que E soit l’ensemble des x ∈ X pour
lesquels f (x) = 1. On peut alors supposer |f (x)| < 1 pour x ∈ E (remplacer
f par
1
2 (1 + f )). Toute intersection dénombrable non vide de pics est un pic.
Si E 1 , E 2 sont des pics, alors E 1 ∪ E 2 est un pic. (Soient f 1 , f 2 ∈ A avec f i = 1
sur E i , |f i | < 1 sur X E i ; soit g i =
1
4 (1 − f i )
1/3 ∈ A ; alors 1 − g 1 g 2 = 1 sur
E 1 ∪ E 2 , |1 − g 1 g 2 | < 1 sur X (E 1 ∪ E 2 ).)
e) Soit E une intersection de pics. Soit I l’ensemble des f ∈ A nulles sur E.
Alors f → f |E définit une isométrie de A/I sur l’algèbre A|E des restrictions
à E de fonctions dans A.
f ) Soit E un pic. Soit E
⊂ E un pic relativement à A|E. Alors E
est un pic
relativement à A.
g) Toute partie antisymétrique de X est une intersection de pics. (Utiliser
d) et f ).)
EXERCICES
TS I.195
avec R(g n ) = f n . Alors e
−gn ∈ B, e
−gn 1, |e
−gn(x
) | = 1/e, |e
−gn(x) |
tend vers 1, ce qui contredit a).)
c) Il existe des mesures positives α et β sur X telles que f (x)−cf (x
) = α(f )
et f (x
) − cf (x) = β(f ) pour f ∈ R. Posant µ x = (1 − c
2 )
−1 (cβ + α),
µ x = (1 − c
2 )
−1 (cα + β), on a µ x (f ) = f (x) et µ x (f ) = f (x
) pour tout
f ∈ B, et cµ x µ x , cµ x µ x .
d) On suppose encore x ∼ x
. Montrer que si µ est une mesure positive sur
X telle que µ(f ) = f (x) pour tout f ∈ B, il existe une mesure positive µ
sur
X telle que µ
(f ) = f (x
) pour tout f ∈ B et cµ µ
pour un c ∈ ]0, 1[. (Avec
les notations de c), poser µ
= µ x − cµ x + cµ.)
e) La relation x ∼ x
est une relation d’équivalence dans X. (Utiliser d).)
¶ 10) Soient X un espace topologique compact et A une sous-algèbre de
Banach unifère de C (X) pour la norme induite.
a) Une partie K de X est dite antisymétrique (relativement à A) si toute
fonction f ∈ A qui est réelle sur K est constante sur K. Toute partie antisymétrique est contenue dans une partie antisymétrique maximale. Une partie antisymétrique maximale est fermée. L’ensemble R des parties antisymétriques
maximales est une partition de X.
b) Soit A
⊥ l’orthogonal de A dans l’espace de Banach des mesures complexes sur X. Soit µ un point extrémal de la boule unité de A
⊥ . Montrer que
le support de µ est antisymétrique.
c) Soit f ∈ C (X). Si f |K ∈ A|K pour tout K ∈ R, alors f ∈ A. (Appliquer
b) et le théorème de Krein–Milman.) Retrouver à partir de là le théorème de
Weierstrass–Stone (TG, X, p. 36, th. 3).
d) Une partie non vide E de X est appelée un pic (relativement à A) s’il
existe f ∈ A telle que f = 1 et que E soit l’ensemble des x ∈ X pour
lesquels f (x) = 1. On peut alors supposer |f (x)| < 1 pour x ∈ E (remplacer
f par
1
2 (1 + f )). Toute intersection dénombrable non vide de pics est un pic.
Si E 1 , E 2 sont des pics, alors E 1 ∪ E 2 est un pic. (Soient f 1 , f 2 ∈ A avec f i = 1
sur E i , |f i | < 1 sur X E i ; soit g i =
1
4 (1 − f i )
1/3 ∈ A ; alors 1 − g 1 g 2 = 1 sur
E 1 ∪ E 2 , |1 − g 1 g 2 | < 1 sur X (E 1 ∪ E 2 ).)
e) Soit E une intersection de pics. Soit I l’ensemble des f ∈ A nulles sur E.
Alors f → f |E définit une isométrie de A/I sur l’algèbre A|E des restrictions
à E de fonctions dans A.
f ) Soit E un pic. Soit E
⊂ E un pic relativement à A|E. Alors E
est un pic
relativement à A.
g) Toute partie antisymétrique de X est une intersection de pics. (Utiliser
d) et f ).)