TS I.194
EXERCICES
§ 8
pour tout f ∈ B
∗ , donc telle que χ(f ) =
X
f (ω)dµ χ (ω) pour tout f ∈ B.
b) On a
log |χ(f )|
X
log |f (ω)| dµ χ (ω)
pour tout f ∈ B et la condition χ(f ) =
X
f (ω) dµ χ (ω) pour tout f ∈ B
définit µ χ de manière unique.
c) Soient χ ∈ X
et µ une mesure positive sur X. Écrivons µ = µ 1 + µ 2 où
µ 1 est de base µ χ , et où µ 2 et µ χ sont étrangères. Soit I le noyau de χ. Alors
inf
f ∈I
X
|1 − f |
2 dµ = inf
f ∈I
X
|1 − f |
2 dµ 1 .
d) Soient χ ∈ X
et h une fonction 0 de L
1 (µ χ ). Soit I le noyau de χ.
Alors
inf
f ∈I
X
|1 − f |
2 h dµ χ = exp
X
log(h) dµ χ
.
e) Pour toute mesure positive µ sur X, et tout p ∈ [1, +∞[, soit H
p (µ)
l’adhérence de l’image canonique de B dans L
p (µ). Soient χ ∈ X
et I le noyau
de χ. Alors L
2 (µ χ ) est somme hilbertienne de H
2 (µ χ ) et de l’adhérence dans
L
2 (µ χ ) de l’image canonique de I (ensemble des conjuguées des fonctions
appartenant à I).
f ) L’espace H
1 (µ χ ) est l’ensemble des classes h des h ∈ L
1 (µ χ ) telles que
X
f h dµ χ = 0 pour tout f ∈ I.
g) Soit h une fonction 0 de L
1 (µ χ ). Alors, on a h = |
f | avec
f ∈ H
1 (µ χ )
et
X
f dµ χ = 0 si et seulement si log(h) ∈ L
1 (µ χ ).
¶ 9) Soient X un espace topologique compact et B une sous-algèbre de Banach
unifère de C (X) (pour la norme induite). Tout élément x de X définit un
caractère χ x de B. Si x, x
sont dans X, on écrit x ∼ x
lorsque χ x − χ x
= 2.
a) Soient x et x
dans X. S’il existe une suite (f n ) d’éléments de B tels que
f n 1, que |f n (x)| tende vers 1 et que lim inf n→∞ |f n (x) − f n (x
)| > 0,
alors on n’a pas x ∼ x
. (On peut supposer que f n (x) tend vers 1. Considérer
g n = (f n −λ n )(1−λ n f n )
−1 , où (λ n ) est une suite de nombres de [0, 1[ tendant
vers 1. On a g n 1. Si la suite (λ n ) est bien choisie, g n (x) tend vers 1 et
g n (x
) tend vers −1.)
b) Soit R l’ensemble des parties réelles des éléments de B. Si x ∼ x
, il
existe c ∈ ]0, 1[ tel que f (x) cf (x
) et f (x
) cf (x) pour tout f 0 de R.
(Il suffit d’obtenir la première condition ; si elle n’est pas vraie, il existe une
suite (f n ) dans R avec f n 0, f n (x
) = 1, f n (x) tendant vers 0 ; soit g n ∈ B
EXERCICES
§ 8
pour tout f ∈ B
∗ , donc telle que χ(f ) =
X
f (ω)dµ χ (ω) pour tout f ∈ B.
b) On a
log |χ(f )|
X
log |f (ω)| dµ χ (ω)
pour tout f ∈ B et la condition χ(f ) =
X
f (ω) dµ χ (ω) pour tout f ∈ B
définit µ χ de manière unique.
c) Soient χ ∈ X
et µ une mesure positive sur X. Écrivons µ = µ 1 + µ 2 où
µ 1 est de base µ χ , et où µ 2 et µ χ sont étrangères. Soit I le noyau de χ. Alors
inf
f ∈I
X
|1 − f |
2 dµ = inf
f ∈I
X
|1 − f |
2 dµ 1 .
d) Soient χ ∈ X
et h une fonction 0 de L
1 (µ χ ). Soit I le noyau de χ.
Alors
inf
f ∈I
X
|1 − f |
2 h dµ χ = exp
X
log(h) dµ χ
.
e) Pour toute mesure positive µ sur X, et tout p ∈ [1, +∞[, soit H
p (µ)
l’adhérence de l’image canonique de B dans L
p (µ). Soient χ ∈ X
et I le noyau
de χ. Alors L
2 (µ χ ) est somme hilbertienne de H
2 (µ χ ) et de l’adhérence dans
L
2 (µ χ ) de l’image canonique de I (ensemble des conjuguées des fonctions
appartenant à I).
f ) L’espace H
1 (µ χ ) est l’ensemble des classes h des h ∈ L
1 (µ χ ) telles que
X
f h dµ χ = 0 pour tout f ∈ I.
g) Soit h une fonction 0 de L
1 (µ χ ). Alors, on a h = |
f | avec
f ∈ H
1 (µ χ )
et
X
f dµ χ = 0 si et seulement si log(h) ∈ L
1 (µ χ ).
¶ 9) Soient X un espace topologique compact et B une sous-algèbre de Banach
unifère de C (X) (pour la norme induite). Tout élément x de X définit un
caractère χ x de B. Si x, x
sont dans X, on écrit x ∼ x
lorsque χ x − χ x
= 2.
a) Soient x et x
dans X. S’il existe une suite (f n ) d’éléments de B tels que
f n 1, que |f n (x)| tende vers 1 et que lim inf n→∞ |f n (x) − f n (x
)| > 0,
alors on n’a pas x ∼ x
. (On peut supposer que f n (x) tend vers 1. Considérer
g n = (f n −λ n )(1−λ n f n )
−1 , où (λ n ) est une suite de nombres de [0, 1[ tendant
vers 1. On a g n 1. Si la suite (λ n ) est bien choisie, g n (x) tend vers 1 et
g n (x
) tend vers −1.)
b) Soit R l’ensemble des parties réelles des éléments de B. Si x ∼ x
, il
existe c ∈ ]0, 1[ tel que f (x) cf (x
) et f (x
) cf (x) pour tout f 0 de R.
(Il suffit d’obtenir la première condition ; si elle n’est pas vraie, il existe une
suite (f n ) dans R avec f n 0, f n (x
) = 1, f n (x) tendant vers 0 ; soit g n ∈ B