§ 8
EXERCICES
TS I.193
b) Si g ∈ A, la norme de son image canonique dans A/I est égale à
n
k=0
|g
(k) (ω)|
k!
.
c) L’algèbre A/I est isomorphe à C[X]/(X
n+1 ) ; le seul idéal maximal de A
contenant I est l’ensemble des f ∈ A telles que f (ω) = 0.
6) Soient ∆ le disque |ζ| 1 dans C et A l’algèbre de Banach des fonctions continues à valeurs complexes sur ∆ analytiques dans l’intérieur de ∆
(exemple 9 de I, p. 20).
a) Si x ∈ A, alors x est limite dans A des fonctions
ζ → x n (ζ) = x
nζ
n + 1
.
L’application identique de ∆ est un générateur de A.
b) L’espace X(A) s’identifie canoniquement à ∆. (Utiliser l’assertion g) de
la prop. 1 de I, p. 142.)
c) Soit S une partie fermée de ∆, identifiée à une partie fermée de X(A).
Si S possède un point non isolé ζ tel que |ζ| < 1, l’adhérence de S pour la
topologie de Jacobson est ∆.
d) Pour x ∈ A, posons x
∗ (ζ) = x(ζ). Alors x → x
∗ est une involution
isométrique de A. Les caractères hermitiens de A sont définis par les éléments
réels de ∆ .
e) L’application x → x|U est un isomorphisme de A sur P(U). Toute fonction de C R (U) est limite uniforme de parties réelles de fonctions de P(U).
7) Soit A 1 (resp. A 2 ) l’algèbre de Banach unifère considérée dans l’exercice 5
(resp. 6). Soit A = A 1 × A 2 . Montrer que A est sans radical, mais que l’image
de la transformée de Gelfand de A n’est ni fermé ni dense dans C (X(A)).
¶ 8) Soient X un espace topologique compact et B une sous-algèbre de Banach unifère de C (X) (pour la norme induite), séparant les points de X. On
identifie X à une partie fermée de X(B) = X
. Soit B
∗ l’ensemble des éléments
inversibles de B. On dit que B est logmodulaire si l’ensemble des fonctions
log(|f |), pour f ∈ B
∗ , est dense dans C R (X). (C’est le cas, en particulier,
si l’ensemble des fonctions R(f ), pour f ∈ B, est dense dans C R (X), car
log(|e
f |) = R(f ).) Dans la suite, on suppose que B est logmodulaire.
a) Pour tout χ ∈ X
, il existe une unique mesure µ χ 0 sur X telle que
log(|χ(f )|) =
X
log(|f (ω)|) dµ χ (ω)
EXERCICES
TS I.193
b) Si g ∈ A, la norme de son image canonique dans A/I est égale à
n
k=0
|g
(k) (ω)|
k!
.
c) L’algèbre A/I est isomorphe à C[X]/(X
n+1 ) ; le seul idéal maximal de A
contenant I est l’ensemble des f ∈ A telles que f (ω) = 0.
6) Soient ∆ le disque |ζ| 1 dans C et A l’algèbre de Banach des fonctions continues à valeurs complexes sur ∆ analytiques dans l’intérieur de ∆
(exemple 9 de I, p. 20).
a) Si x ∈ A, alors x est limite dans A des fonctions
ζ → x n (ζ) = x
nζ
n + 1
.
L’application identique de ∆ est un générateur de A.
b) L’espace X(A) s’identifie canoniquement à ∆. (Utiliser l’assertion g) de
la prop. 1 de I, p. 142.)
c) Soit S une partie fermée de ∆, identifiée à une partie fermée de X(A).
Si S possède un point non isolé ζ tel que |ζ| < 1, l’adhérence de S pour la
topologie de Jacobson est ∆.
d) Pour x ∈ A, posons x
∗ (ζ) = x(ζ). Alors x → x
∗ est une involution
isométrique de A. Les caractères hermitiens de A sont définis par les éléments
réels de ∆ .
e) L’application x → x|U est un isomorphisme de A sur P(U). Toute fonction de C R (U) est limite uniforme de parties réelles de fonctions de P(U).
7) Soit A 1 (resp. A 2 ) l’algèbre de Banach unifère considérée dans l’exercice 5
(resp. 6). Soit A = A 1 × A 2 . Montrer que A est sans radical, mais que l’image
de la transformée de Gelfand de A n’est ni fermé ni dense dans C (X(A)).
¶ 8) Soient X un espace topologique compact et B une sous-algèbre de Banach unifère de C (X) (pour la norme induite), séparant les points de X. On
identifie X à une partie fermée de X(B) = X
. Soit B
∗ l’ensemble des éléments
inversibles de B. On dit que B est logmodulaire si l’ensemble des fonctions
log(|f |), pour f ∈ B
∗ , est dense dans C R (X). (C’est le cas, en particulier,
si l’ensemble des fonctions R(f ), pour f ∈ B, est dense dans C R (X), car
log(|e
f |) = R(f ).) Dans la suite, on suppose que B est logmodulaire.
a) Pour tout χ ∈ X
, il existe une unique mesure µ χ 0 sur X telle que
log(|χ(f )|) =
X
log(|f (ω)|) dµ χ (ω)