TS I.192
EXERCICES
§ 8
2) Soient X un espace topologique compact, R une relation d’équivalence
séparée dans X et B une sous-algèbre fermée de C (X) contenant A R (notation
de l’exerc. 1). Si f ∈ C (X) coïncide sur chaque classe c suivant R avec un
élément g c de B, alors f ∈ B. (Soit ε > 0. Il existe un voisinage ouvert saturé
V c de c tel que |f − g c | ε sur V c . Soient V c1 , . . . , V cn recouvrant X. Soit
(u 1 , . . . , u n ) une partition de l’unité subordonnée à (V c1 , . . . , V cn ) et formée
de fonctions de A R . Alors
g = u 1 g c1 + · · · + u n g cn ∈ B,
et |f − g| ε.)
3) Soit X un espace topologique compact et, pour tout x ∈ X, soit A x une
algèbre de Banach commutative unifère, dont on note e x l’élément unité. On
suppose e x = 1. Soit B l’algèbre de Banach produit des A x pour x ∈ X.
Soit C une sous-algèbre de Banach de B possédant les propriétés suivantes :
(i) e = (e x ) x∈X ∈ C ;
(ii) Si a = (a x ) ∈ C et f ∈ C (X), la fonction f a : x → f (x)a x est un
élément de C ;
(iii) Pour tout a = (a x ) ∈ C, la fonction x → →a x est semi-continue
supérieurement.
Soit
X l’ensemble somme des X(A x ). Pour tout x 0 ∈ X et χ ∈ X(A x0 ), soit
ϕ(χ) le caractère de C défini par ϕ(χ)((a x ) x∈X ) = χ(a x0 ). Démontrer que
ϕ définit une bijection de
X sur X(C). (Soit ξ ∈ X(C). Comme C (X) peut
être identifié à une sous-algèbre fermée de C, ξ définit un caractère de C (X),
donc un x 0 ∈ X. Soient a = (a x ) ∈ C et b = (b x ) ∈ C, avec a x0 = b x0 ; soit
ε > 0 ; on a a x − b x < ε dans un voisinage U de x 0 ; soit f ∈ C (X) telle
que 0 f 1, égale à 1 en x 0 et à 0 hors de U ; on a f a − f b ε, d’où
|ξ(f a − f b)| ε, d’où |ξ(a) − ξ(b)| ε, d’où ξ(a) = ξ(b). En déduire qu’il
existe un χ ∈ X(A x0 ) tel que ξ = (ϕ(χ)).)
4) Soit X un espace topologique compact tel que l’algèbre de Banach C (X)
soit engendrée par une suite (j n ) d’idempotents. La fonction
ω →
∞
n=1
1
3 n (2j n (ω) − 1)
sépare les points de X. Elle engendre l’algèbre de Banach C (X).
5) Soit A l’algèbre de Banach des fonctions de [0, 1] dans C admettant des
dérivées continues dans [0, 1] jusqu’à l’ordre n (exemple 4 de I, p. 18). Soit
ω ∈ [0, 1] = X(A).
a) Le plus petit idéal fermé I de A tel que V(I) = {ω} est l’ensemble des
f ∈ A telles que f, f
, . . . , f
(n) s’annulent en ω. (Utiliser la prop. 5 de I, p. 94)
EXERCICES
§ 8
2) Soient X un espace topologique compact, R une relation d’équivalence
séparée dans X et B une sous-algèbre fermée de C (X) contenant A R (notation
de l’exerc. 1). Si f ∈ C (X) coïncide sur chaque classe c suivant R avec un
élément g c de B, alors f ∈ B. (Soit ε > 0. Il existe un voisinage ouvert saturé
V c de c tel que |f − g c | ε sur V c . Soient V c1 , . . . , V cn recouvrant X. Soit
(u 1 , . . . , u n ) une partition de l’unité subordonnée à (V c1 , . . . , V cn ) et formée
de fonctions de A R . Alors
g = u 1 g c1 + · · · + u n g cn ∈ B,
et |f − g| ε.)
3) Soit X un espace topologique compact et, pour tout x ∈ X, soit A x une
algèbre de Banach commutative unifère, dont on note e x l’élément unité. On
suppose e x = 1. Soit B l’algèbre de Banach produit des A x pour x ∈ X.
Soit C une sous-algèbre de Banach de B possédant les propriétés suivantes :
(i) e = (e x ) x∈X ∈ C ;
(ii) Si a = (a x ) ∈ C et f ∈ C (X), la fonction f a : x → f (x)a x est un
élément de C ;
(iii) Pour tout a = (a x ) ∈ C, la fonction x → →a x est semi-continue
supérieurement.
Soit
X l’ensemble somme des X(A x ). Pour tout x 0 ∈ X et χ ∈ X(A x0 ), soit
ϕ(χ) le caractère de C défini par ϕ(χ)((a x ) x∈X ) = χ(a x0 ). Démontrer que
ϕ définit une bijection de
X sur X(C). (Soit ξ ∈ X(C). Comme C (X) peut
être identifié à une sous-algèbre fermée de C, ξ définit un caractère de C (X),
donc un x 0 ∈ X. Soient a = (a x ) ∈ C et b = (b x ) ∈ C, avec a x0 = b x0 ; soit
ε > 0 ; on a a x − b x < ε dans un voisinage U de x 0 ; soit f ∈ C (X) telle
que 0 f 1, égale à 1 en x 0 et à 0 hors de U ; on a f a − f b ε, d’où
|ξ(f a − f b)| ε, d’où |ξ(a) − ξ(b)| ε, d’où ξ(a) = ξ(b). En déduire qu’il
existe un χ ∈ X(A x0 ) tel que ξ = (ϕ(χ)).)
4) Soit X un espace topologique compact tel que l’algèbre de Banach C (X)
soit engendrée par une suite (j n ) d’idempotents. La fonction
ω →
∞
n=1
1
3 n (2j n (ω) − 1)
sépare les points de X. Elle engendre l’algèbre de Banach C (X).
5) Soit A l’algèbre de Banach des fonctions de [0, 1] dans C admettant des
dérivées continues dans [0, 1] jusqu’à l’ordre n (exemple 4 de I, p. 18). Soit
ω ∈ [0, 1] = X(A).
a) Le plus petit idéal fermé I de A tel que V(I) = {ω} est l’ensemble des
f ∈ A telles que f, f
, . . . , f
(n) s’annulent en ω. (Utiliser la prop. 5 de I, p. 94)