§ 8
EXERCICES
TS I.191
Pour tout ϕ ∈ L
1 (X, µ), la suite ( v N (f )) N∈N converge dans L
1 (X, µ) vers un
élément
ϕ du sous-espace propre de
u f pour la valeur propre 1. (Considérer
d’abord le cas où ϕ est bornée, et appliquer la question précédente.)
e) Soient I un ensemble fini et X = I
Z muni de la mesure produit des mesures
µ n sur I telles que µ n (i) = 1/Card(I) pour tout i ∈ I. Posons f ((i n )) = (i n+1 )
pour tout (i n ) ∈ X. Alors f (µ) = µ et f est µ-ergodique (« décalage de
Bernoulli »).
f ) Soient X = R/Z et µ la mesure de Haar normalisée sur X. Soit a ∈ X et
posons f (x) = x + a. Alors f (µ) = µ et f est µ-ergodique si et seulement si
a est la classe d’un nombre irrationnel.
§ 8
Tous les espaces de Banach et toutes les algèbres de Banach ci-dessous
sont complexes.
1) Soient X un espace topologique, C b (X) l’algèbre stellaire des fonctions
complexes continues bornées sur X et
X = X(C b (X)).
a) Soient A une sous-algèbre de Banach unifère de C b (X) et R A la relation
d’équivalence dans X telle que x équivaut à x
si f (x) = f (x
) pour toute
fonction f ∈ A. Le saturé S pour R A d’une partie compacte K de X est fermé.
(Soit x ∈ S ; pour tout f ∈ A et tout ε > 0, soit V f,ε l’ensemble des x
∈ X
tels que |f (x) − f (x
)| ε ; si f 1 , . . . , f n ∈ A et ε 1 , . . . , ε n > 0, on a
V f1,ε1 ∩ · · · ∩ V fn,εn ∩ K = ∅,
donc
f ∈A
ε>0
V f,ε ∩ K = ∅
d’où x ∈ S.)
b) On suppose X normal. Soient R une relation d’équivalence fermée dans
X et A = A R la sous-algèbre de C b (X) formée des fonctions constantes sur les
classes suivant R. Montrer que R = R A . (Utiliser TG, IX, p. 105, exerc. 19,
a).)
c) On suppose X compact. Alors R → A R est une bijection de l’ensemble
des relations d’équivalence séparées de X sur l’ensemble des sous-algèbres
stellaires de C (X). (Soit A une sous-algèbre stellaire de C (X). Montrer que
R A est séparée, et appliquer le théorème de Weierstrass-Stone à l’algèbre de
fonctions continues sur X/R A déduite de A par passage au quotient.)
EXERCICES
TS I.191
Pour tout ϕ ∈ L
1 (X, µ), la suite ( v N (f )) N∈N converge dans L
1 (X, µ) vers un
élément
ϕ du sous-espace propre de
u f pour la valeur propre 1. (Considérer
d’abord le cas où ϕ est bornée, et appliquer la question précédente.)
e) Soient I un ensemble fini et X = I
Z muni de la mesure produit des mesures
µ n sur I telles que µ n (i) = 1/Card(I) pour tout i ∈ I. Posons f ((i n )) = (i n+1 )
pour tout (i n ) ∈ X. Alors f (µ) = µ et f est µ-ergodique (« décalage de
Bernoulli »).
f ) Soient X = R/Z et µ la mesure de Haar normalisée sur X. Soit a ∈ X et
posons f (x) = x + a. Alors f (µ) = µ et f est µ-ergodique si et seulement si
a est la classe d’un nombre irrationnel.
§ 8
Tous les espaces de Banach et toutes les algèbres de Banach ci-dessous
sont complexes.
1) Soient X un espace topologique, C b (X) l’algèbre stellaire des fonctions
complexes continues bornées sur X et
X = X(C b (X)).
a) Soient A une sous-algèbre de Banach unifère de C b (X) et R A la relation
d’équivalence dans X telle que x équivaut à x
si f (x) = f (x
) pour toute
fonction f ∈ A. Le saturé S pour R A d’une partie compacte K de X est fermé.
(Soit x ∈ S ; pour tout f ∈ A et tout ε > 0, soit V f,ε l’ensemble des x
∈ X
tels que |f (x) − f (x
)| ε ; si f 1 , . . . , f n ∈ A et ε 1 , . . . , ε n > 0, on a
V f1,ε1 ∩ · · · ∩ V fn,εn ∩ K = ∅,
donc
f ∈A
ε>0
V f,ε ∩ K = ∅
d’où x ∈ S.)
b) On suppose X normal. Soient R une relation d’équivalence fermée dans
X et A = A R la sous-algèbre de C b (X) formée des fonctions constantes sur les
classes suivant R. Montrer que R = R A . (Utiliser TG, IX, p. 105, exerc. 19,
a).)
c) On suppose X compact. Alors R → A R est une bijection de l’ensemble
des relations d’équivalence séparées de X sur l’ensemble des sous-algèbres
stellaires de C (X). (Soit A une sous-algèbre stellaire de C (X). Montrer que
R A est séparée, et appliquer le théorème de Weierstrass-Stone à l’algèbre de
fonctions continues sur X/R A déduite de A par passage au quotient.)