TS I.190
EXERCICES
§ 7
c) N(u) ⊂ {z ∈ C | R(z) 0} si et seulement si u + u
∗ est positif.
Alors N(u) = ι(u) pour tout u ∈ L (E). (Montrer que u → ι(u) a les
propriétés indiquées ; soient N 1 et N 2 des applications les vérifiant ; supposant
que N 1 (u) n’est pas contenu dans N 2 (u), trouver α et β dans C tels que
N 2 (αu + β) est contenu dans le demi-plan R(z) 0, mais N 1 (αu + β) ne l’est
pas, et conclure à une contradiction en utilisant c).)
14) Donner un exemple d’espace hilbertien complexe et de u ∈ L (E) tel
que ι(u) n’est pas fermé.
15) On munit l’ensemble X des parties compactes non-vides de C de la
distance définie dans TG, IX, p. 91, exerc. 6. Soit E un espace hilbertien
complexe.
a) L’application u → ι(u) de L (E) dans X est continue. Si E est de dimension infinie, elle n’est pas continue lorsque L (E) est muni de la topologie de
la convergence simple.
b) L’application u → Sp(u) de L (E) dans X n’est pas continue.
16) Soient X un espace localement compact, µ une mesure positive de masse
totale 1 sur X et f : X → X une application telle que f (µ) = µ.
a) L’application ϕ → ϕ ◦ f induit un endomorphisme unitaire u f de
L
2 (X, µ).
b) Le nombre réel 1 est une valeur propre de u f de multiplicité 1 si et
seulement si, pour toute partie mesurable A de X telle que
−1
f (A) = A, on a
µ(A) ∈ {0, 1}. On dit alors que f est µ-ergodique.
c) Soit E ⊂ L
2 (X, µ) le sous-espace propre de u f pour la valeur propre 1.
La suite (v N ) N∈N définie par
v N =
1
N
N−1
n=0
u
n
f
converge vers la projection orthogonale sur E dans l’espace L (L
2 (X, µ))
muni de la topologie de la convergence simple (« Théorème ergodique de
von-Neumann »).(Noter que l’orthogonal de E est l’adhérence de l’image de
u f − 1 E ; vérifier alors que v N (ϕ) → 0 quand ϕ ∈ E
◦ .)
d) On définit un endomorphisme
u f de L
1 (X, µ) comme dans la question
a), et on pose
v N =
1
N
N−1
n=0
u
n
f .
EXERCICES
§ 7
c) N(u) ⊂ {z ∈ C | R(z) 0} si et seulement si u + u
∗ est positif.
Alors N(u) = ι(u) pour tout u ∈ L (E). (Montrer que u → ι(u) a les
propriétés indiquées ; soient N 1 et N 2 des applications les vérifiant ; supposant
que N 1 (u) n’est pas contenu dans N 2 (u), trouver α et β dans C tels que
N 2 (αu + β) est contenu dans le demi-plan R(z) 0, mais N 1 (αu + β) ne l’est
pas, et conclure à une contradiction en utilisant c).)
14) Donner un exemple d’espace hilbertien complexe et de u ∈ L (E) tel
que ι(u) n’est pas fermé.
15) On munit l’ensemble X des parties compactes non-vides de C de la
distance définie dans TG, IX, p. 91, exerc. 6. Soit E un espace hilbertien
complexe.
a) L’application u → ι(u) de L (E) dans X est continue. Si E est de dimension infinie, elle n’est pas continue lorsque L (E) est muni de la topologie de
la convergence simple.
b) L’application u → Sp(u) de L (E) dans X n’est pas continue.
16) Soient X un espace localement compact, µ une mesure positive de masse
totale 1 sur X et f : X → X une application telle que f (µ) = µ.
a) L’application ϕ → ϕ ◦ f induit un endomorphisme unitaire u f de
L
2 (X, µ).
b) Le nombre réel 1 est une valeur propre de u f de multiplicité 1 si et
seulement si, pour toute partie mesurable A de X telle que
−1
f (A) = A, on a
µ(A) ∈ {0, 1}. On dit alors que f est µ-ergodique.
c) Soit E ⊂ L
2 (X, µ) le sous-espace propre de u f pour la valeur propre 1.
La suite (v N ) N∈N définie par
v N =
1
N
N−1
n=0
u
n
f
converge vers la projection orthogonale sur E dans l’espace L (L
2 (X, µ))
muni de la topologie de la convergence simple (« Théorème ergodique de
von-Neumann »).(Noter que l’orthogonal de E est l’adhérence de l’image de
u f − 1 E ; vérifier alors que v N (ϕ) → 0 quand ϕ ∈ E
◦ .)
d) On définit un endomorphisme
u f de L
1 (X, µ) comme dans la question
a), et on pose
v N =
1
N
N−1
n=0
u
n
f .