§ 7
EXERCICES
TS I.189
b) L’enveloppe convexe du spectre de u est égale à l’intersection des sousensembles ι(v) pour v ∈ S u (« théorème de Hildebrandt »).
¶ 9) Soit E un espace de Banach complexe.
a) Soit u ∈ L (E). Considérons les endomorphismes γ u et δ u de L (E)
définis par γ u (v) = u ◦ v et δ u (v) = v ◦ u. On a Sp(u) = Sp(γ u ) = Sp(δ u ),
où les deux derniers spectres sont relatifs à l’algèbre L (L (E)).
b) Pour toute fonction f holomorphe au voisinage du spectre de u, on a
γ f (u) = f (γ u ) et δ f (u) = f (δ u ).
c) Soient u 1 et u 2 dans L (E). Soit l’endomorphisme v → u 1 ◦ v ◦ u 2 de
L (E). Son spectre est égal à Sp(u 1 ) Sp(u 2 ) ⊂ C.
d) Soient u 1 et u 2 dans L (E). Soit l’endomorphisme v → u 1 ◦ v ◦ u 2 de
l’espace L 2 (E) des applications de Hilbert–Schmidt de E dans E. Son spectre
est égal à Sp(u 1 ) Sp(u 2 ) ⊂ C. (Appliquer une méthode similaire.)
10) Soit E un espace hilbertien complexe. Soient x 1 et x 2 des endomorphismes de E. Montrer que le spectre de l’endomorphisme x 1 ⊗ x 2 de E
⊗ 2 E
est égal à Sp(x 1 ) Sp(x 2 ). (Identifier E
⊗ 2 E avec l’espace des opérateurs de
Hilbert–Schmidt de E dans E, cf. EVT 5, p. 52, th. 1, b), et appliquer l’exercice précédent.)
11) Soit u un endomorphisme d’un espace hilbertien complexe E et soit
(j, |u|) sa décomposition polaire.
a) Pour que j commute à |u|, il faut et il suffit que u commute à u
∗ u.
b) Démontrer qu’on a alors u
∗ (x) u(x) pour tout x ∈ E, et que
(u) = u.
c) Soit E =
2 (N) et soit u l’endomorphisme de E donné par
u((a 0 , a 1 , . . . )) = (0, a 0 , a 1 , . . . ).
Il n’est pas normal. Calculer la décomposition polaire (j, |u|) de u ; j est
permutable à |u|.
12) Soit u un endomorphisme d’un espace de Banach E. On note σ a (u)
l’ensemble des λ ∈ C tel que, pour tout α ∈ R
∗
+ , il existe x ∈ E tel que
λx − u(x) < αx.
a) Démontrer que σ a (u) est une partie fermée de σ(u).
b) Démontrer que σ a (u) contient la frontière de σ(u).
13) Soit E un espace hilbertien complexe. Soit N une application de L (E)
dans P(C) telle que
a) N(u) est compact pour tout u ∈ L (E) ;
b) N(αu + β1 E ) = αN(u) + β pour tout u ∈ L (E) et tout (α, β) ∈ C
2 ;
EXERCICES
TS I.189
b) L’enveloppe convexe du spectre de u est égale à l’intersection des sousensembles ι(v) pour v ∈ S u (« théorème de Hildebrandt »).
¶ 9) Soit E un espace de Banach complexe.
a) Soit u ∈ L (E). Considérons les endomorphismes γ u et δ u de L (E)
définis par γ u (v) = u ◦ v et δ u (v) = v ◦ u. On a Sp(u) = Sp(γ u ) = Sp(δ u ),
où les deux derniers spectres sont relatifs à l’algèbre L (L (E)).
b) Pour toute fonction f holomorphe au voisinage du spectre de u, on a
γ f (u) = f (γ u ) et δ f (u) = f (δ u ).
c) Soient u 1 et u 2 dans L (E). Soit l’endomorphisme v → u 1 ◦ v ◦ u 2 de
L (E). Son spectre est égal à Sp(u 1 ) Sp(u 2 ) ⊂ C.
d) Soient u 1 et u 2 dans L (E). Soit l’endomorphisme v → u 1 ◦ v ◦ u 2 de
l’espace L 2 (E) des applications de Hilbert–Schmidt de E dans E. Son spectre
est égal à Sp(u 1 ) Sp(u 2 ) ⊂ C. (Appliquer une méthode similaire.)
10) Soit E un espace hilbertien complexe. Soient x 1 et x 2 des endomorphismes de E. Montrer que le spectre de l’endomorphisme x 1 ⊗ x 2 de E
⊗ 2 E
est égal à Sp(x 1 ) Sp(x 2 ). (Identifier E
⊗ 2 E avec l’espace des opérateurs de
Hilbert–Schmidt de E dans E, cf. EVT 5, p. 52, th. 1, b), et appliquer l’exercice précédent.)
11) Soit u un endomorphisme d’un espace hilbertien complexe E et soit
(j, |u|) sa décomposition polaire.
a) Pour que j commute à |u|, il faut et il suffit que u commute à u
∗ u.
b) Démontrer qu’on a alors u
∗ (x) u(x) pour tout x ∈ E, et que
(u) = u.
c) Soit E =
2 (N) et soit u l’endomorphisme de E donné par
u((a 0 , a 1 , . . . )) = (0, a 0 , a 1 , . . . ).
Il n’est pas normal. Calculer la décomposition polaire (j, |u|) de u ; j est
permutable à |u|.
12) Soit u un endomorphisme d’un espace de Banach E. On note σ a (u)
l’ensemble des λ ∈ C tel que, pour tout α ∈ R
∗
+ , il existe x ∈ E tel que
λx − u(x) < αx.
a) Démontrer que σ a (u) est une partie fermée de σ(u).
b) Démontrer que σ a (u) contient la frontière de σ(u).
13) Soit E un espace hilbertien complexe. Soit N une application de L (E)
dans P(C) telle que
a) N(u) est compact pour tout u ∈ L (E) ;
b) N(αu + β1 E ) = αN(u) + β pour tout u ∈ L (E) et tout (α, β) ∈ C
2 ;