TS I.188
EXERCICES
§ 7
(En particulier, le point 0 est un point isolé du spectre de u, mais l’adhérence de l’union des noyaux de u
n pour n 1 n’est pas égale au sous-espace
spectral E 0 (x).)
2) Il existe un espace de Banach E et un endomorphisme u de E tel que 0
soit une valeur propre de u mais que 0 ne soit pas isolé dans Sp(u).
3) Donner un exemple d’espace hilbertien E et d’endomorphisme u ∈ L (E)
tel que 0 soit valeur propre de u mais pas de u
∗ .
4) Soient E =
2 (Z) et u l’endomorphisme tel que u((λ n )) = (λ n+1 ).
a) Montrer que u est unitaire.
b) Calculer le spectre de u.
c) Le spectre fini de u est vide.
5) Soit s l’endomorphisme de
2 (N) tel que
s(a 0 , a 1 , . . . , a n , . . .) = (a 1 , . . . , a n , . . .).
Montrer que l’image numérique de s est le disque unité ouvert ∆ dans C, et
que le spectre de s est le disque unité fermé dans C. Déterminer les valeurs
propres de s. Faire de même pour l’adjoint s
∗ de s.
6) Soit u ∈ L (C
n ) un endomorphisme de trace nulle. Il existe une base
orthonormale B de C
n telle que tous les coefficients diagonaux de la matrice
représentant u dans la base B sont nuls. (Démontrer que 0 appartient à
l’image numérique de u.)
7) Soit u un endomorphisme d’un espace hilbertien complexe E tel que le
spectre de u est contenu dans le disque unité ouvert de C. Soient F l’espace
hilbertien
2
E (N) des suites de carré sommable d’éléments de E (EVT, V,
p. 18, exemple) et s F l’endomorphisme de F tel que
s F (a 0 , a 1 , . . . , a n , . . .) = (a 1 , . . . , a n . . .).
Il existe un sous-espace fermé H de F et une application linéaire bijective
continue v : E → H telle que u = v
−1 s F v.
8) Soit u un endomorphisme d’un espace hilbertien complexe E. Soit S u
l’ensemble des endomorphismes de E de la forme wuw
−1 où w parcourt l’ensemble des endomorphismes inversibles de E.
a) On a
(u) = inf
v∈Su
v.
(On peut supposer que (u) 1 ; appliquer l’exercice précédent aux endomorphismes u ε = (1 + ε)
−1 u pour ε > 0.)