§ 7
EXERCICES
TS I.187
b) Soit ε > 0 tel que ε < 1. Il existe un sous-ensemble fini F de G {e} et
un entier n 1 tels que l’élément
x
=
g∈F
λ g π(g)
vérifie x
− x < ε et x
<
√
n
2 (1 − ε).
c) Soient G = A ∪ B et (g i ) 1in vérifiant les conditions de la propriété de
Powers pour le sous-ensemble fini F et l’entier n. Posons
y
=
1
n
n
i=1
π(g i )x
π(g
−1
i ).
On a y
< 1 − ε. (Soit p i la projection orthogonale de
2 (G) sur
2 (g i B) ;
vérifier que
(1 − p i )π(g i )x
π(g
−1
i )(1 − p i ) = 0
pour 1 i n, et en déduire que
1 + y
= 1 +
1
n
n
i=1
p i π(g i )x
π(g
−1
i ) +
1
n
n
i=1
p i π(g i )x
π(g
−1
i )(1 − p i )
∗
,
puis noter que les endomorphismes p i π(g i )x
π(g
−1
i ) ont des images deux à
deux orthogonales pour estimer leurs normes.)
d) L’idéal I contient l’élément
1 +
1
n
n
i=1
π(g i )xπ(g
−1
i ),
et cet élément est inversible. Par conséquent, l’algèbre stellaire Stell r (G) ne
contient pas d’idéal bilatère fermé distinct de {0} et de Stell r (G).
e) Soit G un groupe libre non commutatif. Alors G a la propriété de Powers.
§ 7
Dans les exercices ci-dessous, tous les espaces de Banach sont sur C.
1) Soient E = C ([0, 1]) et u l’endomorphisme de E défini par
u(f )(t) =
t
0
f (t)dt.
a) Le rayon spectral de u est nul. (Estimer la norme de u
n .)
b) Le spectre de u est réduit à 0, et pour tout n 1, le noyau de u
n est
réduit à 0.