TS I.186
EXERCICES
§ 6
l’idéal à gauche fermé engendré par x et que y − z < δ. (Considérer une
suite (e n ) n1 comme ci-dessus et définir y n comme précédemment ; la suite
z n = y
−1
n x converge vers un élément z ∈ A, et z n appartient à l’idéal à gauche
fermé engendré par x ; la suite (y n ) converge vers y ∈ A et x = yz.)
31) Soit A l’espace de Banach des fonctions complexes intégrables sur [0, 1]
pour la mesure de Lebesgue. On pose
(f · g)(t) =
t
0
f (t − x)g(x)dx
pour t ∈ [0, 1].
a) La fonction f · g est définie presque partout et est un élément de A.
b) Muni de l’opération (f, g) → f · g, l’espace A est une algèbre de Banach
commutative.
c) Soit x ∈ A la fonction constante égale à 1. La fonction x
n est
t →
t
n−1
(n − 1)!
.
d) L’algèbre A est topologiquement engendrée par x, l’élément x est quasinilpotent, et A est égale à son radical.
e) L’algèbre A admet une unité approchée.
f ) L’algèbre A ne possède aucun idéal maximal, régulier ou non, fermé ou
non (utiliser l’exercice précédent et l’exercice 1 de I, p. 166). En particulier,
X(A) est vide, donc compact.
32) Soit G un groupe. On dit que G a la propriété de Powers si, pour tout
n ∈ N et tout sous-ensemble fini F de G {e}, il existe une partition de G
en deux sous-ensembles A et B et une famille (g i ) 1in d’éléments de G tels
que
(i) pour tout g ∈ F, les ensembles A et gA sont disjoints ;
(ii) pour tous entiers distincts j et k compris entre 1 et n, les ensembles
g j B et g k B sont disjoints.
Soit G un groupe possédant la propriété de Powers. Soit I un idéal bilatère fermé non nul de l’algèbre stellaire réduite Stell r (G) (exercice 25).
Soit π : C[G] → Stell r (G) la représentation canonique.
a) Il existe une famille (λ g ) g∈G {e} dans C telle que
x =
g∈G {e}
λ g π(g)
est un élément hermitien de Stell r (G) tel que y = 1 + x appartient à I.
EXERCICES
§ 6
l’idéal à gauche fermé engendré par x et que y − z < δ. (Considérer une
suite (e n ) n1 comme ci-dessus et définir y n comme précédemment ; la suite
z n = y
−1
n x converge vers un élément z ∈ A, et z n appartient à l’idéal à gauche
fermé engendré par x ; la suite (y n ) converge vers y ∈ A et x = yz.)
31) Soit A l’espace de Banach des fonctions complexes intégrables sur [0, 1]
pour la mesure de Lebesgue. On pose
(f · g)(t) =
t
0
f (t − x)g(x)dx
pour t ∈ [0, 1].
a) La fonction f · g est définie presque partout et est un élément de A.
b) Muni de l’opération (f, g) → f · g, l’espace A est une algèbre de Banach
commutative.
c) Soit x ∈ A la fonction constante égale à 1. La fonction x
n est
t →
t
n−1
(n − 1)!
.
d) L’algèbre A est topologiquement engendrée par x, l’élément x est quasinilpotent, et A est égale à son radical.
e) L’algèbre A admet une unité approchée.
f ) L’algèbre A ne possède aucun idéal maximal, régulier ou non, fermé ou
non (utiliser l’exercice précédent et l’exercice 1 de I, p. 166). En particulier,
X(A) est vide, donc compact.
32) Soit G un groupe. On dit que G a la propriété de Powers si, pour tout
n ∈ N et tout sous-ensemble fini F de G {e}, il existe une partition de G
en deux sous-ensembles A et B et une famille (g i ) 1in d’éléments de G tels
que
(i) pour tout g ∈ F, les ensembles A et gA sont disjoints ;
(ii) pour tous entiers distincts j et k compris entre 1 et n, les ensembles
g j B et g k B sont disjoints.
Soit G un groupe possédant la propriété de Powers. Soit I un idéal bilatère fermé non nul de l’algèbre stellaire réduite Stell r (G) (exercice 25).
Soit π : C[G] → Stell r (G) la représentation canonique.
a) Il existe une famille (λ g ) g∈G {e} dans C telle que
x =
g∈G {e}
λ g π(g)
est un élément hermitien de Stell r (G) tel que y = 1 + x appartient à I.