§ 6
EXERCICES
TS I.185
b) Soit A une algèbre de Banach admettant une identitée approchée. Pour
tout caractère χ ∈ X(A), on a χ = 1.
c) La sous-algèbre de Banach de L
1 (Z) formée des suites (x n ) telles que
x n = 0 si n < 0 n’a pas d’unité approchée. (Construire un caractère non nul
de norme < 1.)
d) Soient G le groupe libre engendré par deux éléments a et b et µ une
mesure de Haar sur G. Soit I l’idéal fermé de L
1 (G) formé des f ∈ L
1 (G)
tels que µ(f ) = 0. Soit ξ = e
2iπ/3 . Soit x = ε e + ξε a + ξ
−1 ε b ∈ L
1 (G). Pour
tout f ∈ L
1 (G), on a x ∗ f − x 1. L’algèbre de Banach I n’a pas d’unité
approchée.
¶ 30) Soit A une algèbre de Banach ayant une unité approchée. Notons
A
l’algèbre de Banach obtenue à partir de A par adjonction d’un élément unité,
noté 1.
a) Soit x ∈ A. Alors x appartient à l’idéal à gauche fermé engendré par x.
b) Pour tout ε > 0 et toute famille finie (x i ) i∈I d’éléments de A, il existe
e ∈ A tel que e 1 et ex i − x i < ε pour tout i ∈ I.
c) Soient x ∈ A, ε > 0 et 0 < γ 1/8. Il existe η > 0 tel que pour tout
e ∈ A vérifiant e 1 et ex − x < η, alors α = (1−γ)·1+γe est inversible
dans
A et x − α
−1 x < ε.
d) Soient x ∈ A, ε > 0, δ > 0 et 0 < γ 1/8. Il existe une suite (e n ) n1
dans A ayant les propriétés suivantes :
(i) On a e n < 2 pour tout n 1 ;
(ii) L’élément
y n =
n
k=1
γ(1 − γ)
k−1 e k + (1 − γ)
n · 1
est inversible dans
A pour tout n 1 et
y
−1
n x − y
−1
n−1 x < δ2
−n
(n 2), y
−1
1 x − x < δ/2.
(Supposant que (e 1 , . . . , e n ) ont été définis, considérer un élément e n+1 quelconque de norme < 2 ; observer que
y n+1 = ((1 − γ) · 1 + e n+1 )
n
k=1
γ(1 − γ)
k−1 e
k + (1 − γ)
n · 1
,
où e
k = ((1 − γ) · 1 + e n+1 )
−1 e k , et déterminer e n+1 vérifiant les conditions
demandées en exploitant le fait que l’ensemble des éléments inversibles de
A
est ouvert, et que l’application a → a
−1 est continue.)
e) Pour tout x ∈ A, il existe y et z dans A tels que x = yz (« théorème de
factorisation de Cohen »). Soit δ > 0. On peut supposer que z appartient à