TS I.184
EXERCICES
§ 6
de C[G] correspondant à g. Les éléments [g], pour g ∈ G, forment une base
orthonormale de
2 (G) et C[G] est dense dans
2 (G).
a) L’application
g
α g [g] →
g
α g [g
−1 ]
est une involution sur C[G].
b) Pour g ∈ G, soit π(g) l’application x → gx de C[G]. L’application qui à g
associe π(g) s’étend en un morphisme continu et injectif d’algèbres involutives
de C[G] dans L (
2 (G)).
On note Stell r (G), et on appelle algèbre stellaire réduite de G, l’adhérence
dans L (
2 (G)) de l’image de l’application π. C’est une algèbre stellaire. On
identifie C[G] à son image par π dans Stell r (G).
c) L’application linéaire trace Tr : C[G] → C telle que Tr(1) = 1 et Tr(g) =
0 pour g = 1 s’étend en une application linéaire continue Stell r (G) → C.
d) On a Tr(xy) = Tr(yx) pour tous x et y dans Stell r (G).
e) On a Tr(xx
∗ ) 0 pour tout x dans Stell r (G), et Tr(xx
∗ ) = 0 si, et
seulement si, x = 0.
f ) Soit e un élément idempotent de C[G] tel que e = 0 et e = 1. Montrer
que 0 < Tr(e) < 1. (Utiliser l’exercice 3).
g) Soit e un élément idempotent de Z[G]. Montrer que e = 0 ou e = 1.
(« Théorème de Kaplansky »).
h) Soit x un élement de C[G]. Alors x est inversible si et seulement s’il est
inversible à gauche, si et seulement s’il est inversible à droite.
i) Soit n un entier strictement positif. Une matrice x de type (n, n) à coefficients dans C[G] est inversible si et seulement si elle est inversible à gauche,
si et seulement si elle est inversible à droite.
26) Soit A une algèbre stellaire unifère. Soient a et b des éléments normaux
de A et x ∈ A
∗ tel que b = xax
−1 . Il existe un élément unitaire u de A tel
que b = uau
∗ . (Utiliser l’exercice précédent et la décomposition polaire de x,
en notant que |x| appartient au bicommutant de x).
27) Soient A une algèbre stellaire unifère, a, b et c des éléments de A. On
suppose que b et c sont normaux. Si ac = cb, alors on a f (a)c = cf (b) pour
toute fonction f continue sur la réunion du spectre de a et du spectre de b.
28) Soit A une algèbre stellaire. Soient a et b des éléments positifs de A tels
que ab = 0. Alors Sp A (ab) n’est pas réduit à 0.
29) a) Soit G un groupe topologique localement compact. L’algèbre de Banach L
1 (G) a une identité approchée. (Utiliser INT, VIII, § 2, n
o 7, lemme 4).
EXERCICES
§ 6
de C[G] correspondant à g. Les éléments [g], pour g ∈ G, forment une base
orthonormale de
2 (G) et C[G] est dense dans
2 (G).
a) L’application
g
α g [g] →
g
α g [g
−1 ]
est une involution sur C[G].
b) Pour g ∈ G, soit π(g) l’application x → gx de C[G]. L’application qui à g
associe π(g) s’étend en un morphisme continu et injectif d’algèbres involutives
de C[G] dans L (
2 (G)).
On note Stell r (G), et on appelle algèbre stellaire réduite de G, l’adhérence
dans L (
2 (G)) de l’image de l’application π. C’est une algèbre stellaire. On
identifie C[G] à son image par π dans Stell r (G).
c) L’application linéaire trace Tr : C[G] → C telle que Tr(1) = 1 et Tr(g) =
0 pour g = 1 s’étend en une application linéaire continue Stell r (G) → C.
d) On a Tr(xy) = Tr(yx) pour tous x et y dans Stell r (G).
e) On a Tr(xx
∗ ) 0 pour tout x dans Stell r (G), et Tr(xx
∗ ) = 0 si, et
seulement si, x = 0.
f ) Soit e un élément idempotent de C[G] tel que e = 0 et e = 1. Montrer
que 0 < Tr(e) < 1. (Utiliser l’exercice 3).
g) Soit e un élément idempotent de Z[G]. Montrer que e = 0 ou e = 1.
(« Théorème de Kaplansky »).
h) Soit x un élement de C[G]. Alors x est inversible si et seulement s’il est
inversible à gauche, si et seulement s’il est inversible à droite.
i) Soit n un entier strictement positif. Une matrice x de type (n, n) à coefficients dans C[G] est inversible si et seulement si elle est inversible à gauche,
si et seulement si elle est inversible à droite.
26) Soit A une algèbre stellaire unifère. Soient a et b des éléments normaux
de A et x ∈ A
∗ tel que b = xax
−1 . Il existe un élément unitaire u de A tel
que b = uau
∗ . (Utiliser l’exercice précédent et la décomposition polaire de x,
en notant que |x| appartient au bicommutant de x).
27) Soient A une algèbre stellaire unifère, a, b et c des éléments de A. On
suppose que b et c sont normaux. Si ac = cb, alors on a f (a)c = cf (b) pour
toute fonction f continue sur la réunion du spectre de a et du spectre de b.
28) Soit A une algèbre stellaire. Soient a et b des éléments positifs de A tels
que ab = 0. Alors Sp A (ab) n’est pas réduit à 0.
29) a) Soit G un groupe topologique localement compact. L’algèbre de Banach L
1 (G) a une identité approchée. (Utiliser INT, VIII, § 2, n
o 7, lemme 4).