§ 6
EXERCICES
TS I.183
d) Une algèbre stellaire A contient un élément systématiquement positif
si, et seulement si, il existe une suite (x n ) n1 dans A qui forme une unité
approchée de A.
20) Soient A une algèbre stellaire, I un idéal bilatère fermé de A et B une
sous-algèbre involutive fermée de A. Alors B+I est une sous-algèbre involutive
fermée de A, et il existe un isomorphisme isométrique B + I/I → B/B ∩ I.
21) Soit S le disque unité fermé dans C. Soit A l’algèbre de Banach involutive des fonctions continues de S dans C qui sont holomorphes dans le disque
unité ouvert, où l’involution est donnée par f
∗ (z) = f (z). Il existe un élément
hermitien de A dont le spectre n’est pas contenu dans R.
22) Soit A = C ([0, 1]). Montrer que l’idéal I de A engendré par la fonction
identique de [0, 1] n’est pas fermé.
23) Soit A une algèbre stellaire unifère. On note A
+ l’espace vectoriel des
formes linéaires f sur A, non nécessairement continues, telles que
f (A + ) ⊂ [0, +∞[
(« formes linéaires positives »).
a) Soit f ∈ A
+ . Pour toute suite (x n ) n∈N dans A
1
+ , la famille (f (x n ))
est bornée. (Démontrer que la série
i f (x i )y i converge pour toute famille
positive (y i ) dans
1 (N).)
b) L’application linéaire f est continue.
c) Une forme linéaire f appartient à A
+ si et seulement si f est continue
et f = f (1).
d) Soit x ∈ A h un élément hermitien. Il existe une forme linéaire positive
f ∈ A
+ telle que |f (x)| = x. (Utiliser l’exercice 7 de I, p. 174).
24) Soit A une algèbre de Banach unifère sur C. On suppose que x → x
∗
et x → x
◦ sont des involutions sur A telles que A, munie de chacune, est une
algèbre stellaire. On note A 1 et A 2 ces deux algèbres stellaires.
a) Avec les notations de l’exercice 23, montrer que A
1,+ = A
2,+ . On note
A
+ cet ensemble.
b) Soit x ∈ A 1,h un élément tel que x
∗ = x. Montrer que pour toute f ∈ A
+ ,
on a f (i(x − x
◦ )) = 0. En déduire que x ∈ A 2,h . (Utiliser la question b) de
l’exercice 23).
c) Conclure que A 1 = A 2 , et qu’une algèbre de Banach complexe admet au
plus une involution qui en fait une algèbre stellaire.
25) Soit G un groupe. On note C[G] l’algèbre du groupe G sur C. C’est un
sous-espace de l’espace hilbertien
2 (G). Pour g dans G, on note [g] l’élément
EXERCICES
TS I.183
d) Une algèbre stellaire A contient un élément systématiquement positif
si, et seulement si, il existe une suite (x n ) n1 dans A qui forme une unité
approchée de A.
20) Soient A une algèbre stellaire, I un idéal bilatère fermé de A et B une
sous-algèbre involutive fermée de A. Alors B+I est une sous-algèbre involutive
fermée de A, et il existe un isomorphisme isométrique B + I/I → B/B ∩ I.
21) Soit S le disque unité fermé dans C. Soit A l’algèbre de Banach involutive des fonctions continues de S dans C qui sont holomorphes dans le disque
unité ouvert, où l’involution est donnée par f
∗ (z) = f (z). Il existe un élément
hermitien de A dont le spectre n’est pas contenu dans R.
22) Soit A = C ([0, 1]). Montrer que l’idéal I de A engendré par la fonction
identique de [0, 1] n’est pas fermé.
23) Soit A une algèbre stellaire unifère. On note A
+ l’espace vectoriel des
formes linéaires f sur A, non nécessairement continues, telles que
f (A + ) ⊂ [0, +∞[
(« formes linéaires positives »).
a) Soit f ∈ A
+ . Pour toute suite (x n ) n∈N dans A
1
+ , la famille (f (x n ))
est bornée. (Démontrer que la série
i f (x i )y i converge pour toute famille
positive (y i ) dans
1 (N).)
b) L’application linéaire f est continue.
c) Une forme linéaire f appartient à A
+ si et seulement si f est continue
et f = f (1).
d) Soit x ∈ A h un élément hermitien. Il existe une forme linéaire positive
f ∈ A
+ telle que |f (x)| = x. (Utiliser l’exercice 7 de I, p. 174).
24) Soit A une algèbre de Banach unifère sur C. On suppose que x → x
∗
et x → x
◦ sont des involutions sur A telles que A, munie de chacune, est une
algèbre stellaire. On note A 1 et A 2 ces deux algèbres stellaires.
a) Avec les notations de l’exercice 23, montrer que A
1,+ = A
2,+ . On note
A
+ cet ensemble.
b) Soit x ∈ A 1,h un élément tel que x
∗ = x. Montrer que pour toute f ∈ A
+ ,
on a f (i(x − x
◦ )) = 0. En déduire que x ∈ A 2,h . (Utiliser la question b) de
l’exercice 23).
c) Conclure que A 1 = A 2 , et qu’une algèbre de Banach complexe admet au
plus une involution qui en fait une algèbre stellaire.
25) Soit G un groupe. On note C[G] l’algèbre du groupe G sur C. C’est un
sous-espace de l’espace hilbertien
2 (G). Pour g dans G, on note [g] l’élément