TS I.182
EXERCICES
§ 6
14) Soit G un groupe localement compact. Si Stell(G) possède un élément
unité, alors le groupe G est discret. (Utiliser le fait que, dans l’espace hilbertien L
2 (G), l’application identique est limite en norme d’endomorphismes
γ f , où γ est la représentation régulière gauche et où f ∈ L
1 (G).)
15) a) Soit A une algèbre stellaire commutative. Si x et y sont des éléments
positifs de A tels que x y, alors x
2 y
2 .
b) Il existe une algèbre stellaire A et des éléments x et y de A tels que
0 x y, mais tels que x
2 n’est pas y
2 .
c) Il existe une algèbre stellaire A et des éléments x et y dans A tels que
|x + y| n’est pas |x| + |y|.
16) Soit X un espace topologique. Soit C b (X) l’algèbre stellaire commutative
des fonctions continues bornées à valeurs complexes sur X.
a) Soit
X = X(C b (X)) ; l’espace
X est un espace compact tel que C (
X)
s’identifie à C b (X).
b) L’application j : X →
X qui envoie x sur le caractère f → f (x) est
continue.
c) Si X est complètement régulier (TG, IX, p. 8, déf. 4), l’application j est
un homéomorphisme de X sur un sous-espace dense de
X. (Pour montrer que
l’image de j est dense dans
X, montrer qu’une fonction complexe continue
sur
X nulle sur j(X) est identiquement nulle.)
d) L’espace
X s’identifie au compactifié de Stone–Čech de X (TG, IX, p. 9).
17) Soient A une algèbre stellaire et x ∈ A. Si x = a − b avec a, b positifs et
ab = ba = 0, alors a = x
+ et b = x
− .
18) Soit A une algèbre stellaire de type dénombrable. Il existe une suite
(e n ) n∈N dans A + tel que le filtre élémentaire associé (TG, I, p. 42, déf. 7)
est une unité approchée croissante de A.
19) Soit A une algèbre stellaire. Un élément x est dit systématiquement
positif si x ∈ A + et si xAx est dense dans A.
a) Montrer qu’une algèbre stellaire commutative A contient un élément
systématiquement positif si, et seulement si, il existe un espace topologique
X localement compact et dénombrable à l’infini X tel que A soit isomorphe
à C 0 (X).
b) Si A est unifère, alors un élément x de A est systématiquement positif
si, et seulement si, x est positif et inversible.
c) Soit x ∈ A un élément systématiquement positif tel que x 1. Démontrer que la suite (x
1/n ) n1 est une unité approchée croissante dans A.
EXERCICES
§ 6
14) Soit G un groupe localement compact. Si Stell(G) possède un élément
unité, alors le groupe G est discret. (Utiliser le fait que, dans l’espace hilbertien L
2 (G), l’application identique est limite en norme d’endomorphismes
γ f , où γ est la représentation régulière gauche et où f ∈ L
1 (G).)
15) a) Soit A une algèbre stellaire commutative. Si x et y sont des éléments
positifs de A tels que x y, alors x
2 y
2 .
b) Il existe une algèbre stellaire A et des éléments x et y de A tels que
0 x y, mais tels que x
2 n’est pas y
2 .
c) Il existe une algèbre stellaire A et des éléments x et y dans A tels que
|x + y| n’est pas |x| + |y|.
16) Soit X un espace topologique. Soit C b (X) l’algèbre stellaire commutative
des fonctions continues bornées à valeurs complexes sur X.
a) Soit
X = X(C b (X)) ; l’espace
X est un espace compact tel que C (
X)
s’identifie à C b (X).
b) L’application j : X →
X qui envoie x sur le caractère f → f (x) est
continue.
c) Si X est complètement régulier (TG, IX, p. 8, déf. 4), l’application j est
un homéomorphisme de X sur un sous-espace dense de
X. (Pour montrer que
l’image de j est dense dans
X, montrer qu’une fonction complexe continue
sur
X nulle sur j(X) est identiquement nulle.)
d) L’espace
X s’identifie au compactifié de Stone–Čech de X (TG, IX, p. 9).
17) Soient A une algèbre stellaire et x ∈ A. Si x = a − b avec a, b positifs et
ab = ba = 0, alors a = x
+ et b = x
− .
18) Soit A une algèbre stellaire de type dénombrable. Il existe une suite
(e n ) n∈N dans A + tel que le filtre élémentaire associé (TG, I, p. 42, déf. 7)
est une unité approchée croissante de A.
19) Soit A une algèbre stellaire. Un élément x est dit systématiquement
positif si x ∈ A + et si xAx est dense dans A.
a) Montrer qu’une algèbre stellaire commutative A contient un élément
systématiquement positif si, et seulement si, il existe un espace topologique
X localement compact et dénombrable à l’infini X tel que A soit isomorphe
à C 0 (X).
b) Si A est unifère, alors un élément x de A est systématiquement positif
si, et seulement si, x est positif et inversible.
c) Soit x ∈ A un élément systématiquement positif tel que x 1. Démontrer que la suite (x
1/n ) n1 est une unité approchée croissante dans A.