§ 6
EXERCICES
TS I.181
7) Soit A une algèbre de Banach unifère commutative involutive. Pour que
tout caractère de A soit hermitien, il faut et il suffit que 1+xx
∗ soit inversible
pour tout x ∈ A. (Si tout caractère de A est hermitien, G (1+xx
∗ ) est partout
> 0 sur X(A). Si un caractère χ de A est non hermitien, il existe un x ∈ A
hermitien tel que χ(x) = i, d’où χ(1+xx
∗ ) = 0 et 1+xx
∗ n’est pas inversible.)
8) Construire un exemple de groupe G tel que l’algèbre de Banach involutive
M
1 (G) (I, p. 100, exemple 4) ne soit pas une algèbre stellaire.
9) Soit A une algèbre de Banach unifère. Le groupe des éléments unitaires
de A est un sous-groupe borné maximal de A
∗ .
10) Soient A une algèbre de Banach involutive et
A l’algèbre obtenue par
adjonction d’un élément unité. Montrer que la norme définie dans le numéro I,
p. 15 sur
A ne coïncide pas, en général, avec la norme définie par la prop. 3
de I, p. 105.
11) Soit A une algèbre de Banach involutive, dont l’involution vérifie
x
∗ x = x · ·x
∗ pour tout x ∈ A. Alors A est une algèbre stellaire.
(On a y
2 = y
2 pour y hermitien, d’où y = (y) ; observant que
Sp
A (x
∗ ) = Sp
A (x) pour tout x ∈ A, on a donc
x
∗ · ·x = x
∗ x = (x
∗ x) (x
∗ )(x) = (x
2 ) x
2 ,
d’où x
∗ x et x
∗ = x.)
12) Soient A une algèbre stellaire, N l’ensemble des éléments normaux de A,
x ∈ N et V un voisinage de 0 dans C. Il existe un voisinage U de x dans N tel
que, pour tout y ∈ U, on ait Sp A (y) ⊂ Sp A (x) + V et Sp A (x) ⊂ Sp A (y) + V.
(Utiliser le cor. du 1 de I, p. 108, la prop. 3 de I, p. 23 et la prop. 10 de I,
p. 76.)
13) Soient A une algèbre de Banach unifère sur C, x ∈ A, et S = Sp A (x). On
suppose qu’il existe un morphisme ϕ de C (S) dans A qui transforme 1 en 1 et
z en x, en désignant par z l’application identique de S. Alors ϕ(f ) f
pour toute f ∈ C (S). En particulier, si le morphisme ϕ est continu, alors ϕ
est un homéomorphisme sur son image. (On peut supposer A commutative.
Soit λ ∈ S. Il existe χ ∈ X(A) tel que λ = χ(x) = χ(ϕ(z)) = (X(ϕ)(χ))(z).
Donc X(ϕ)(χ) est le caractère f → f (λ) de C (S). Soit f ∈ C (S). D’après ce
qui précède, il existe χ ∈ X(A) tel que |f | atteigne son maximum en X(ϕ)(χ).
Alors |χ(ϕ(f ))| = f , donc ϕ(f ) f .)
EXERCICES
TS I.181
7) Soit A une algèbre de Banach unifère commutative involutive. Pour que
tout caractère de A soit hermitien, il faut et il suffit que 1+xx
∗ soit inversible
pour tout x ∈ A. (Si tout caractère de A est hermitien, G (1+xx
∗ ) est partout
> 0 sur X(A). Si un caractère χ de A est non hermitien, il existe un x ∈ A
hermitien tel que χ(x) = i, d’où χ(1+xx
∗ ) = 0 et 1+xx
∗ n’est pas inversible.)
8) Construire un exemple de groupe G tel que l’algèbre de Banach involutive
M
1 (G) (I, p. 100, exemple 4) ne soit pas une algèbre stellaire.
9) Soit A une algèbre de Banach unifère. Le groupe des éléments unitaires
de A est un sous-groupe borné maximal de A
∗ .
10) Soient A une algèbre de Banach involutive et
A l’algèbre obtenue par
adjonction d’un élément unité. Montrer que la norme définie dans le numéro I,
p. 15 sur
A ne coïncide pas, en général, avec la norme définie par la prop. 3
de I, p. 105.
11) Soit A une algèbre de Banach involutive, dont l’involution vérifie
x
∗ x = x · ·x
∗ pour tout x ∈ A. Alors A est une algèbre stellaire.
(On a y
2 = y
2 pour y hermitien, d’où y = (y) ; observant que
Sp
A (x
∗ ) = Sp
A (x) pour tout x ∈ A, on a donc
x
∗ · ·x = x
∗ x = (x
∗ x) (x
∗ )(x) = (x
2 ) x
2 ,
d’où x
∗ x et x
∗ = x.)
12) Soient A une algèbre stellaire, N l’ensemble des éléments normaux de A,
x ∈ N et V un voisinage de 0 dans C. Il existe un voisinage U de x dans N tel
que, pour tout y ∈ U, on ait Sp A (y) ⊂ Sp A (x) + V et Sp A (x) ⊂ Sp A (y) + V.
(Utiliser le cor. du 1 de I, p. 108, la prop. 3 de I, p. 23 et la prop. 10 de I,
p. 76.)
13) Soient A une algèbre de Banach unifère sur C, x ∈ A, et S = Sp A (x). On
suppose qu’il existe un morphisme ϕ de C (S) dans A qui transforme 1 en 1 et
z en x, en désignant par z l’application identique de S. Alors ϕ(f ) f
pour toute f ∈ C (S). En particulier, si le morphisme ϕ est continu, alors ϕ
est un homéomorphisme sur son image. (On peut supposer A commutative.
Soit λ ∈ S. Il existe χ ∈ X(A) tel que λ = χ(x) = χ(ϕ(z)) = (X(ϕ)(χ))(z).
Donc X(ϕ)(χ) est le caractère f → f (λ) de C (S). Soit f ∈ C (S). D’après ce
qui précède, il existe χ ∈ X(A) tel que |f | atteigne son maximum en X(ϕ)(χ).
Alors |χ(ϕ(f ))| = f , donc ϕ(f ) f .)