TS I.180
EXERCICES
§ 5
(Γ 1 ∪ Γ 2 )×Γ 1 est un homéomorphisme. Soit ν la mesure ϕ
−1 (µ⊗ν). Montrer
que ν est orthogonale à A.
d) Soit g la fonction sur X qui est nulle sur R ∪ T 1 et égale à z 3 sur T 2 .
Alors g /
∈ A.
e) La fonction g coïncide avec un élément de A au voisinage de tout z ∈ X.
§ 6
1) Trouver une algèbre de Banach involutive unifère A et un élément unitaire u ∈ A tel que u
= 1.
2) Soient A une algèbre de Banach et A 1 ⊂ A une sous-algèbre fermée.
Si A 1 est une algèbre involutive, alors tout caractère de A 1 s’étend en un
caractère de A.
3) Soit A une algèbre involutive unifère. On suppose que pour tout x dans
A, le spectre de x ne contient pas −1.
a) Pour tout élément idempotent x de A, montrer qu’il existe un élément
idempotent hermitien y de A tel que xA = yA. (Considérer l’inverse z de
1 + (x − x
∗ )(x
∗ − x) ; montrer que z commute avec x et poser y = xx
∗ z.)
b) Pour tout élément idempotent x de A, montrer qu’il existe un élément
idempotent hermitien y de A et u inversible dans A tels que x = uyu
−1 . (Si
xA = yA, poser u = (1 − (y − x))
−1 .)
4) Soit A une algèbre normée, munie d’une involution continue. Si on pose
x
= sup(x, x
∗ ) pour tout x ∈ A, A devient une algèbre normée involutive, et la nouvelle norme est équivalente à l’ancienne.
5) Soit A une algèbre de Banach commutative sans radical. Toute involution
de A est continue. (Utiliser la prop. 9 de I, p. 40.)
¶ 6) Soit A une algèbre de Banach unifère commutative involutive dont tout
caractère est hermitien. Supposons que, pour tout élément x ∈ A hermitien
non inversible, on a (x − λ)
−1 = o(I (λ)
−2 ) quand λ tend vers 0 avec
I (λ) = 0. Alors tout idéal fermé I de A est intersection d’idéaux maximaux.
(Soit ϕ : A −→ A/I le morphisme canonique. Soit x ∈ A tel que ϕ(x) soit
dans le radical de A/I. Il faut prouver que ϕ(x) = 0. Se ramener au cas où x
est hermitien. Utiliser alors l’exerc. 29 de I, p. 161).