§ 5
EXERCICES
TS I.179
x
2 = u 2 x
, avec G u 1 = 1 (resp. 0) au voisinage de σ 1 (resp. σ 2 ), et G u 2 = 1
(resp. 0) au voisinage de σ 2 (resp. σ 1 ).)
4) Soient A une algèbre de Banach commutative régulière sans radical, vérifiant la condition de Ditkin, I un idéal fermé de A, x ∈ Υ(V(I)) et F la
frontière de V(Ax). Si F ∩ V(I) ne contient aucun ensemble parfait non vide,
on a x ∈ I. (Imiter le raisonnement de la prop. 5 de I, p. 94.)
5) Soit A une algèbre de Banach commutative régulière sans radical. On
suppose que tout idéal fermé de A est intersection d’idéaux maximaux réguliers. Soit x ∈ A. Soit F l’ensemble des zéros de G
(x). Alors x est limite
d’éléments u n x, où u n ∈ A et G (u n ) est nulle au voisinage de F. (Soit J
l’ensemble des y ∈ A tels que G (y) soit à support compact disjoint de F. On
a x ∈ J. Utiliser la prop. 4 de I, p. 91.) En particulier, A vérifie la condition
de Ditkin.
6) Soit B l’algèbre des fonctions complexes continûment dérivables sur [0, 1],
munie de la norme f = sup|f | + sup|f
|. Soit A la sous-algèbre fermée de
B formée des fonctions f ∈ B telles que f
1
2
= 0. Soit I l’idéal fermé de A
formé des f ∈ A tels que f
1
2
= 0.
a) L’espace X(A) s’identifie à [0, 1]
1
2
, et A est régulière.
b) L’idéal I est un idéal maximal de A non régulier.
7) Soient R, T 1 , T 2 les sous-ensembles formés de C
4 formé des éléments
(z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ) ∈ C
4 tels que :
R : z 1 z 2 = 2,
1 |z 1 | 2,
z 3 = z 4 = 0,
T 1 : z 1 z 2 = 2,
|z 1 | = 1,
|z 3 | 1,
z 4 = 0,
T 2 : z 1 z 2 = 2,
|z 1 | = 2,
|z 3 | 1,
z 4 = z
2
3 .
a) L’ensemble X = R ∪ T 1 ∪ T 2 est polynomialement convexe. (Montrer
que X est l’ensemble des (z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ) tels que
z 1 z 2 = 2, |z 1 | 2, |z 2 | 2, |z 3 | 1, z 4 (z 4 − z
2
3 ) = 0,
|z 4 z
k
2 | 1 et |z
k
1 (z 4 − z
2
3 )| 1 pour k = 1, 2, . . .).
b) Soit A la sous-algèbre fermée de C (X) engendrée par les restrictions à X
des fonctions polynômes sur C
4 . Alors X s’identifie à X(A).
c) Soient Γ 1 , Γ 2 ⊂ C les cercles de centre 0 et de rayons 1, 2 orientés dans le
sens positif. Soient µ 0 , µ 1 , ν les mesures sur Γ 1 , Γ 2 , Γ 1 définies par les formes
différentielles z
−1 dz, −z
−1 dz, z
−2 dz. Soit µ = µ 0 + µ 1 , de sorte que µ ⊗ ν est
une mesure sur (Γ 1 ∪ Γ 2 ) × Γ 1 . Soit B l’ensemble des z = (z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ) ∈ X
tels que (z 1 , z 3 ) ∈ (Γ 1 ∪ Γ 2 ) × Γ 1 . L’application ϕ : z → (z 1 , z 3 ) de B dans
EXERCICES
TS I.179
x
2 = u 2 x
, avec G u 1 = 1 (resp. 0) au voisinage de σ 1 (resp. σ 2 ), et G u 2 = 1
(resp. 0) au voisinage de σ 2 (resp. σ 1 ).)
4) Soient A une algèbre de Banach commutative régulière sans radical, vérifiant la condition de Ditkin, I un idéal fermé de A, x ∈ Υ(V(I)) et F la
frontière de V(Ax). Si F ∩ V(I) ne contient aucun ensemble parfait non vide,
on a x ∈ I. (Imiter le raisonnement de la prop. 5 de I, p. 94.)
5) Soit A une algèbre de Banach commutative régulière sans radical. On
suppose que tout idéal fermé de A est intersection d’idéaux maximaux réguliers. Soit x ∈ A. Soit F l’ensemble des zéros de G
(x). Alors x est limite
d’éléments u n x, où u n ∈ A et G (u n ) est nulle au voisinage de F. (Soit J
l’ensemble des y ∈ A tels que G (y) soit à support compact disjoint de F. On
a x ∈ J. Utiliser la prop. 4 de I, p. 91.) En particulier, A vérifie la condition
de Ditkin.
6) Soit B l’algèbre des fonctions complexes continûment dérivables sur [0, 1],
munie de la norme f = sup|f | + sup|f
|. Soit A la sous-algèbre fermée de
B formée des fonctions f ∈ B telles que f
1
2
= 0. Soit I l’idéal fermé de A
formé des f ∈ A tels que f
1
2
= 0.
a) L’espace X(A) s’identifie à [0, 1]
1
2
, et A est régulière.
b) L’idéal I est un idéal maximal de A non régulier.
7) Soient R, T 1 , T 2 les sous-ensembles formés de C
4 formé des éléments
(z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ) ∈ C
4 tels que :
R : z 1 z 2 = 2,
1 |z 1 | 2,
z 3 = z 4 = 0,
T 1 : z 1 z 2 = 2,
|z 1 | = 1,
|z 3 | 1,
z 4 = 0,
T 2 : z 1 z 2 = 2,
|z 1 | = 2,
|z 3 | 1,
z 4 = z
2
3 .
a) L’ensemble X = R ∪ T 1 ∪ T 2 est polynomialement convexe. (Montrer
que X est l’ensemble des (z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ) tels que
z 1 z 2 = 2, |z 1 | 2, |z 2 | 2, |z 3 | 1, z 4 (z 4 − z
2
3 ) = 0,
|z 4 z
k
2 | 1 et |z
k
1 (z 4 − z
2
3 )| 1 pour k = 1, 2, . . .).
b) Soit A la sous-algèbre fermée de C (X) engendrée par les restrictions à X
des fonctions polynômes sur C
4 . Alors X s’identifie à X(A).
c) Soient Γ 1 , Γ 2 ⊂ C les cercles de centre 0 et de rayons 1, 2 orientés dans le
sens positif. Soient µ 0 , µ 1 , ν les mesures sur Γ 1 , Γ 2 , Γ 1 définies par les formes
différentielles z
−1 dz, −z
−1 dz, z
−2 dz. Soit µ = µ 0 + µ 1 , de sorte que µ ⊗ ν est
une mesure sur (Γ 1 ∪ Γ 2 ) × Γ 1 . Soit B l’ensemble des z = (z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ) ∈ X
tels que (z 1 , z 3 ) ∈ (Γ 1 ∪ Γ 2 ) × Γ 1 . L’application ϕ : z → (z 1 , z 3 ) de B dans