TS I.178
EXERCICES
§ 4
§ 5
Dans les exercices ci-dessous, toutes les algèbres considérées sont sur C.
1) Soient A une algèbre de Banach commutative régulière et I un idéal fermé
de A. Alors I et A/I sont des algèbres de Banach commutatives régulières.
2) Soient A une algèbre de Banach commutative régulière sans radical, I un
idéal de A, χ un élément de V(I) et J l’ensemble des x ∈ A tels que G x soit
à support compact disjoint de {χ}. Alors I + J est le plus petit des idéaux R
de A tels que R ⊃ I et V(R) = {χ}.
3) Soient A une algèbre de Banach commutative, A
l’espace de Banach
dual de A. Pour tout x ∈ A, soit κ(x) l’opérateur linéaire dans A
transposé
de la multiplication par x dans A. Pour x ∈ A et x
∈ A
, on note x x x
=
κ(x)(x
) ∈ A
. Un sous-espace vectoriel de A
est dit invariant s’il est stable
par tous les κ(x).
a) Pour qu’un élément x
de A
soit proportionnel à un caractère non nul
de A, il faut et il suffit que Cx
soit invariant.
b) L’application V → V
◦ est une bijection de l’ensemble des idéaux fermés
de A sur l’ensemble des sous-espaces vectoriels invariants faiblement fermés
de A
.
c) Si W est un sous-espace vectoriel invariant de A
, on note σ(W) l’ensemble des caractères appartenant à W. Si W 1 et W 2 sont invariants faiblement fermés, et si W est le sous-espace vectoriel faiblement fermé engendré
par W 1 et W 2 , on a σ(W) = σ(W 1 ) ∪ σ(W 2 ). (Utiliser b).)
d) Soit W un sous-espace vectoriel invariant faiblement fermé de A
. Alors
σ(W) est l’ensemble des χ ∈
A tel que la condition x ∗ x
= 0 pour tout
x
∈ W entraîne χ(x) = 0.
e) Si A admet un élément unité, tout sous-espace vectoriel invariant faiblement fermé de A
contient un caractère non nul.
f ) Dans la suite de cet exercice, on suppose que A est une algèbre régulière
sans radical et unifère. Si W est un sous-espace vectoriel invariant faiblement
fermé de A
et U un voisinage de σ(W) dans X(A), alors W est contenu dans
le sous-espace vectoriel faiblement fermé de A
engendré par U.
g) Soit x
∈ A
et W le sous-espace vectoriel invariant faiblement fermé de
A
engendré par x
. On pose σ(x
) = σ(W). Si x ∈ A est tel que G x = 1 sur
un voisinage de σ(x
), alors x x x
= x
. (Utiliser f ).)
h) Si σ(x
) est réunion de deux ensembles fermés disjoints σ 1 et σ 2 , il existe
x
1 , x
2 ∈ A
tels que σ(x
1 ) = σ 1 , σ(x
2 ) = σ 2 et x
= x
1 +x
2 . (Poser x
1 = u 1
,