§ 4
EXERCICES
TS I.177
g holomorphe dans un voisinage de X 2 qui coïncide avec f dans un voisinage
de X 1 (cf. I, p. 168, exerc. 14).)
¶ 18) Soit A une algèbre de Banach unifère commutative.
a) Pour toute famille finie I d’éléments de A, soit S(I) ⊂ C
I le spectre
simultané de I. Si I
prolonge I, la surjection canonique pr I,I de C
I
sur C
I
est telle que pr I,I (S(I
)) = S(I), d’où un morphisme injectif ϕ II de O(S(I))
dans O(S(I
)). Soit O(X(A)) la limite inductive des O(S(I)) relativement aux
ϕ II (on indexe les familles finies d’éléments de A par les parties finies de
A × N). Les applications canoniques
ϕ I : O(S(I)) −→ O(X(A))
sont injectives.
On munira O(X(A)) de la topologie limite inductive de celles des O(S(I)).
Pour tout a ∈ A, la fonction coordonnée au voisinage de S(a) ⊂ C définit un
élément z a de O(X(A)).
b) La surjection continue X(A) → S(I) définit un morphisme continu
C (S(I)) → C (X(A)). Les morphismes O(S(I)) → C (S(I)) → C (X(A))
définissent un morphisme continu :
ϕ : O(X(A)) −→ C (X(A)).
Ce morphisme est non injectif en général.
c) Il existe un unique morphisme unifère continu ψ de O(X(A)) dans A tel
que ψ(z a ) = a pour tout a ∈ A. (Utiliser le th. 1 de I, p. 51.) Son composé
avec la transformation de Gelfand est ϕ.
d) Soient E un espace localement convexe séparé, U une partie faiblement
ouverte de E et f : U → C une fonction. On dit que f est faiblement holomorphe si, pour tout u ∈ U, il existe un voisinage faiblement ouvert V u de u,
un sous-espace vectoriel fermé F u de codimension finie de E, et une fonction
holomorphe g u sur p u (V u ), où p u désigne l’application canonique de E sur
E/F u , tels que f |V u = g u ◦ p u .
Montrer que si f est faiblement holomorphe, et si K est une partie faiblement compacte de U, il existe un voisinage faiblement ouvert V K de K
dans U, un sous-espace vectoriel fermé F K de codimension finie de E, et une
fonction holomorphe g K sur p K (V K ) tels que f |V K = g K ◦ p K , où p K est
l’application canonique de E sur E/F K .
e) Montrer que O(X(A)) est la limite inductive des O(S), où S parcourt
l’ensemble des voisinages faiblement ouverts de X(A) dans le dual de A, et
où O(S) désigne l’algèbre des fonctions faiblement holomorphes dans S, munie
de la topologie de la convergence compacte.
EXERCICES
TS I.177
g holomorphe dans un voisinage de X 2 qui coïncide avec f dans un voisinage
de X 1 (cf. I, p. 168, exerc. 14).)
¶ 18) Soit A une algèbre de Banach unifère commutative.
a) Pour toute famille finie I d’éléments de A, soit S(I) ⊂ C
I le spectre
simultané de I. Si I
prolonge I, la surjection canonique pr I,I de C
I
sur C
I
est telle que pr I,I (S(I
)) = S(I), d’où un morphisme injectif ϕ II de O(S(I))
dans O(S(I
)). Soit O(X(A)) la limite inductive des O(S(I)) relativement aux
ϕ II (on indexe les familles finies d’éléments de A par les parties finies de
A × N). Les applications canoniques
ϕ I : O(S(I)) −→ O(X(A))
sont injectives.
On munira O(X(A)) de la topologie limite inductive de celles des O(S(I)).
Pour tout a ∈ A, la fonction coordonnée au voisinage de S(a) ⊂ C définit un
élément z a de O(X(A)).
b) La surjection continue X(A) → S(I) définit un morphisme continu
C (S(I)) → C (X(A)). Les morphismes O(S(I)) → C (S(I)) → C (X(A))
définissent un morphisme continu :
ϕ : O(X(A)) −→ C (X(A)).
Ce morphisme est non injectif en général.
c) Il existe un unique morphisme unifère continu ψ de O(X(A)) dans A tel
que ψ(z a ) = a pour tout a ∈ A. (Utiliser le th. 1 de I, p. 51.) Son composé
avec la transformation de Gelfand est ϕ.
d) Soient E un espace localement convexe séparé, U une partie faiblement
ouverte de E et f : U → C une fonction. On dit que f est faiblement holomorphe si, pour tout u ∈ U, il existe un voisinage faiblement ouvert V u de u,
un sous-espace vectoriel fermé F u de codimension finie de E, et une fonction
holomorphe g u sur p u (V u ), où p u désigne l’application canonique de E sur
E/F u , tels que f |V u = g u ◦ p u .
Montrer que si f est faiblement holomorphe, et si K est une partie faiblement compacte de U, il existe un voisinage faiblement ouvert V K de K
dans U, un sous-espace vectoriel fermé F K de codimension finie de E, et une
fonction holomorphe g K sur p K (V K ) tels que f |V K = g K ◦ p K , où p K est
l’application canonique de E sur E/F K .
e) Montrer que O(X(A)) est la limite inductive des O(S), où S parcourt
l’ensemble des voisinages faiblement ouverts de X(A) dans le dual de A, et
où O(S) désigne l’algèbre des fonctions faiblement holomorphes dans S, munie
de la topologie de la convergence compacte.