TS I.176
EXERCICES
§ 4
14) Soient K une partie compacte de C et P (resp. Q) l’adhérence dans
O(K) de l’ensemble des germes de fonctions polynomiales (resp. rationnelles)
holomorphes au voisinage de K. Montrer que P = Q si, et seulement si,
l’ensemble C K est connexe.
15) Soit U l’ensemble des nombres complexes de module 1. Soient K 1 , K 2
les sous-ensembles compacts de C
2 donnés par
K 1 = U × {0},
K 2 = {(z, z) | z ∈ U}.
a) Montrer que l’ensemble des germes au voisinage de K 1 de fonctions polynômes sur C à coefficients complexes n’est pas dense dans O(K 1 ).
b) Montrer que l’ensemble des germes au voisinage de K 2 de fonctions polynômes sur C à coefficients complexes est dense dans O(K 2 ).
16) Soient A une algèbre de Banach unifère, x ∈ A, et k un entier 0. Soit
U l’ensemble des nombres complexes de module 1.
a) On suppose que Sp A (x) ⊂ U et que R(x, λ) = O((1 − |λ|)
k ) quand |λ|
tend vers 1. Montrer que x
n = O(|n|
k ) quand n tend vers ±∞. (Pour tout
δ > 1, montrer que
2πx
n M
δ
n
(δ − 1) k + M
δ
−n
(1 − δ −1 ) k
où M est indépendant de n et δ. Prendre δ = n/(n − k) quand n tend vers
+∞, δ = n/(n + k) quand n tend vers −∞.)
b) On suppose que x
n = O(|n|
k ) quand n tend vers ±∞. Montrer que
Sp A (x) ⊂ U et que R(λ, x) = O((1 − |λ|)
k+1 ) quand |λ| tend vers 1. (On
a (x) = (x
−1 ) = 1, donc Sp A (x) ⊂ U. Pour |λ| < 1,
R(λ, x) = −x
−1 (1 + λx
−1 + λ
2 x
−2 + λ
3 x
−3 + . . .).
En déduire une majoration de R(λ, x), et raisonner de manière analogue si
|λ| > 1.)
17) Soit X 1 (resp. X 2 ) l’ensemble des (z 1 , z 2 ) ∈ C
2 tels que
1
2
|z 1 |
2 + |z 2 |
2 1, resp. |z 1 |
2 + |z 2 |
2 1.
Soit X = X 1 ∪ {(0, 0)} ⊂ C
2 . Soient A = C (X), et a 1 , a 2 les restrictions à X
des fonctions coordonnées sur C
2 .
a) Le spectre simultané Sp
2
A (a 1 , a 2 ) est égal à X.
b) Construire deux morphismes unifères continus distincts de O(X) dans
A transformant z 1 en a 1 et z 2 en a 2 . (Utiliser le théorème suivant : pour
toute fonction f holomorphe dans un voisinage de X 1 , il existe une fonction