§ 4
EXERCICES
TS I.175
9) Soient A une algèbre de Banach unifère, x ∈ A, U un voisinage ouvert
de Sp A (x) n’ayant qu’un nombre fini de composantes connexes U i (i ∈ I), et
f ∈ O(U). Pour que f (x) = 0, il faut et il suffit que les conditions suivantes
soient réalisées :
(i) pour tout i tel que Sp A (x) ∩ U i soit infini ou contienne un point qui
n’est pas un pôle de la résolvante, on a f |U i = 0 ;
(ii) tout pôle d’ordre p de la résolvante est un zéro d’ordre p de f .
(Pour la nécessité de (ii), raisonner comme pour l’exerc. 8.)
10) Soit ∆ le disque |z| 1 dans C. Soit A l’espace des fonctions f qui sont
continues dans ∆ et holomorphes dans l’intérieur de ∆, et telles qu’il existe
une suite (c n ) sommable de nombres complexes vérifiant
f (z) =
n0
c n z
n
pour tout z ∈ ∆. On note alors f =
n |c n |.
a) Muni de la multiplication (f, g) → f g, l’espace A est une algèbre de
Banach unifère et z est un générateur topologique de A.
b) L’espace X(A) s’identifie à ∆ ; si f ∈ A et si g est holomorphe dans un
voisinage ouvert de f (∆), alors g ◦ f ∈ A.
11) Soient A une algèbre de Banach unifère commutative et x ∈ A. Soient
S une partie de X(A) fermée pour la topologie de Jacobson et f une fonction
complexe holomorphe dans un voisinage de (G x)(S). Il existe y ∈ A tel que
G y = f ◦ G x sur S. (Soit I l’intersection des noyaux des χ ∈ S. Utiliser le
calcul fonctionnel dans A/I.)
12) Soit U un ouvert non vide dans C. Montrer qu’il n’existe aucune norme
sur O(U) pour laquelle O(U) soit une algèbre de Banach. (Utilisant le th. 1
de I, p. 29, montrer que les fonctions de O(U) seraient bornées.)
13) Soit n ∈ N.
a) Une partie V de C
n est polynomialement convexe si et seulement si, pour
tout x ∈ C
n
V, il existe une fonction entière f : C
n → C telle que
|f (x)| > sup
y∈V
|f (y)|.
b) Soit K ⊂ R
n une partie compacte. Alors K est polynomialement convexe
dans C
n .
c) Soient V une partie compacte polynomialement convexe de C
n et f ∈
O(V). Alors le graphe de f est polynomialement convexe dans C
n+1 . (Utiliser
le théorème de Oka–Weil).
EXERCICES
TS I.175
9) Soient A une algèbre de Banach unifère, x ∈ A, U un voisinage ouvert
de Sp A (x) n’ayant qu’un nombre fini de composantes connexes U i (i ∈ I), et
f ∈ O(U). Pour que f (x) = 0, il faut et il suffit que les conditions suivantes
soient réalisées :
(i) pour tout i tel que Sp A (x) ∩ U i soit infini ou contienne un point qui
n’est pas un pôle de la résolvante, on a f |U i = 0 ;
(ii) tout pôle d’ordre p de la résolvante est un zéro d’ordre p de f .
(Pour la nécessité de (ii), raisonner comme pour l’exerc. 8.)
10) Soit ∆ le disque |z| 1 dans C. Soit A l’espace des fonctions f qui sont
continues dans ∆ et holomorphes dans l’intérieur de ∆, et telles qu’il existe
une suite (c n ) sommable de nombres complexes vérifiant
f (z) =
n0
c n z
n
pour tout z ∈ ∆. On note alors f =
n |c n |.
a) Muni de la multiplication (f, g) → f g, l’espace A est une algèbre de
Banach unifère et z est un générateur topologique de A.
b) L’espace X(A) s’identifie à ∆ ; si f ∈ A et si g est holomorphe dans un
voisinage ouvert de f (∆), alors g ◦ f ∈ A.
11) Soient A une algèbre de Banach unifère commutative et x ∈ A. Soient
S une partie de X(A) fermée pour la topologie de Jacobson et f une fonction
complexe holomorphe dans un voisinage de (G x)(S). Il existe y ∈ A tel que
G y = f ◦ G x sur S. (Soit I l’intersection des noyaux des χ ∈ S. Utiliser le
calcul fonctionnel dans A/I.)
12) Soit U un ouvert non vide dans C. Montrer qu’il n’existe aucune norme
sur O(U) pour laquelle O(U) soit une algèbre de Banach. (Utilisant le th. 1
de I, p. 29, montrer que les fonctions de O(U) seraient bornées.)
13) Soit n ∈ N.
a) Une partie V de C
n est polynomialement convexe si et seulement si, pour
tout x ∈ C
n
V, il existe une fonction entière f : C
n → C telle que
|f (x)| > sup
y∈V
|f (y)|.
b) Soit K ⊂ R
n une partie compacte. Alors K est polynomialement convexe
dans C
n .
c) Soient V une partie compacte polynomialement convexe de C
n et f ∈
O(V). Alors le graphe de f est polynomialement convexe dans C
n+1 . (Utiliser
le théorème de Oka–Weil).