TS I.174
EXERCICES
§ 4
d) En déduire que tout point de Sp A (p) est pôle simple de la résolvante
R(p, λ), puis qu’il existe un entier m 0, des entiers n k ∈ Z et des idempotents deux à deux orthogonaux j k , pour 1 k m, tels que
p = 2iπ
k
n k j k .
¶ 7) a) Soient B un espace de Banach complexe et j un point de B tel que
j = 1. Pour tout x ∈ B, la limite
lim
α→0
α>0
1
α
(j + αx − 1)
existe. Soit ϕ(x) cette limite.
b) Soit
ψ(x) = sup
ε∈C
|ε|=1
ϕ(εx).
La fonction ψ est une semi-norme majorée par la norme de B. On a
ψ(x) = sup
f
|f (x)|,
où f parcourt l’ensemble des éléments du dual de B tels que f = f (j) = 1.
c) On suppose désormais que B est une algèbre de Banach et que j = 1 est
un élément unité de B. On a :
ϕ(x) = lim
α→0
α>0
1
α
log(exp(αx)) = sup
α>0
1
α
log(exp(αx)).
(Observer que log(exp((α + α
)x)) log(exp(αx)) + log(exp(α
x)).)
d) En utilisant c), montrer que exp(λx) exp(|λ|ψ(x)). En intégrant
λ → λ
−2 exp(λx) sur le cercle déterminé par |λ| = , en déduire que
x
−1 exp(ψ(x)),
d’où, en posant = ψ(x)
−1 , que x eψ(x), où e = exp(1).
e) Pour tout x non nul de B, il existe une forme linéaire f ∈ B
telle que
f (1) = f = 1 et f (x) = 0.
8) Soient A une algèbre de Banach unifère, x ∈ A, et B la sous-algèbre de A
engendrée par x. Pour que Sp A (x) soit un ensemble fini dont tous les éléments
sont pôles de la résolvante de x, il faut et il suffit que B soit de dimension
finie. (Pour montrer que la condition est nécessaire, si R(x, λ) =
p
i=1
F i (λ)a i ,
où a i ∈ A et où F i est une fonction rationnelle scalaire, le développement de
R(x, λ) autour de λ = ∞ montre que les x
n sont combinaisons linéaires des
a i .)