§ 4
EXERCICES
TS I.173
2) Soient A une algèbre de Banach unifère et G le groupe des éléments
inversibles de A.
a) Pour qu’un élément x ∈ A soit de la forme exp(y), où y ∈ A, il faut et il
suffit qu’il soit contenu dans un sous-groupe connexe commutatif de G.
b) Pour qu’un élément x ∈ A soit de la forme exp(y), où y ∈ A, il suffit que
0 appartienne à la composante connexe non bornée de C Sp A (x).
3) Soient A une algèbre de Banach unifère, G le groupe des éléments inversibles de A et G 1 la composante neutre de G.
a) Soient x ∈ A et n un entier 0 tel que x
n = e. Montrer que x ∈ G 1 . (Le
spectre de x est fini. L’ensemble des λ ∈ C tels que y(λ) = λx + e − λe soit
inversible est de complémentaire fini, donc connexe. Or, y(0) = e, y(1) = x.)
b) On suppose A commutative. Tout élément de G/G 1 distinct de l’élément
neutre est d’ordre infini. (Si x ∈ G et x
n ∈ G 1 , on a x
n = exp(y) avec un
y ∈ A d’après le n
o 10 de I, p. 78, d’où (x exp(−y/n))
n = e. Appliquer a).)
4) Il existe une algèbre de Banach commutative non unifère et non nulle
telle que X(A) est compact.
5) Soient A une algèbre de Banach unifère et a ∈ A. Soient G le groupe
des éléments inversibles de A et G 1 la composante neutre de G. Le spectre
exponentiel de A est l’ensemble des λ ∈ C tels que x − λe n’appartienne pas
à G 1 (cf. prop. 12 de I, p. 79).
a) Le spectre exponentiel de a est fermé ; il contient le spectre de a.
b) La frontière du spectre exponentiel de a est contenue dans le spectre
singulier de a (exercice 16 de I, p. 158).
c) Le spectre exponentiel de a est la réunion du spectre de a et de certaines
composantes connexes bornées de C Sp(a).
d) Soit f ∈ C[X] un polynôme. L’image par f du spectre exponential de
a contient le spectre exponentiel de f (a). En général, l’inclusion est stricte
(utiliser la théorie de Fredholm, cf. III, à paraître).
6) Soit A une algèbre de Banach commutative unifère.
a) Si j est un idempotent de A, on a exp(2iπj) = 1 et exp(iπj) = 1 − 2j.
b) Soit p ∈ A tel que exp(p) = 1. Alors Sp A (p) se compose d’un nombre fini
de points de la forme 2inπ, où n ∈ Z.
c) Pour λ ∈ Sp A (p), on a :
1
0
exp(t(p − λ1)) dt = (1 − exp(−λ))(λ1 − p)
−1 .
EXERCICES
TS I.173
2) Soient A une algèbre de Banach unifère et G le groupe des éléments
inversibles de A.
a) Pour qu’un élément x ∈ A soit de la forme exp(y), où y ∈ A, il faut et il
suffit qu’il soit contenu dans un sous-groupe connexe commutatif de G.
b) Pour qu’un élément x ∈ A soit de la forme exp(y), où y ∈ A, il suffit que
0 appartienne à la composante connexe non bornée de C Sp A (x).
3) Soient A une algèbre de Banach unifère, G le groupe des éléments inversibles de A et G 1 la composante neutre de G.
a) Soient x ∈ A et n un entier 0 tel que x
n = e. Montrer que x ∈ G 1 . (Le
spectre de x est fini. L’ensemble des λ ∈ C tels que y(λ) = λx + e − λe soit
inversible est de complémentaire fini, donc connexe. Or, y(0) = e, y(1) = x.)
b) On suppose A commutative. Tout élément de G/G 1 distinct de l’élément
neutre est d’ordre infini. (Si x ∈ G et x
n ∈ G 1 , on a x
n = exp(y) avec un
y ∈ A d’après le n
o 10 de I, p. 78, d’où (x exp(−y/n))
n = e. Appliquer a).)
4) Il existe une algèbre de Banach commutative non unifère et non nulle
telle que X(A) est compact.
5) Soient A une algèbre de Banach unifère et a ∈ A. Soient G le groupe
des éléments inversibles de A et G 1 la composante neutre de G. Le spectre
exponentiel de A est l’ensemble des λ ∈ C tels que x − λe n’appartienne pas
à G 1 (cf. prop. 12 de I, p. 79).
a) Le spectre exponentiel de a est fermé ; il contient le spectre de a.
b) La frontière du spectre exponentiel de a est contenue dans le spectre
singulier de a (exercice 16 de I, p. 158).
c) Le spectre exponentiel de a est la réunion du spectre de a et de certaines
composantes connexes bornées de C Sp(a).
d) Soit f ∈ C[X] un polynôme. L’image par f du spectre exponential de
a contient le spectre exponentiel de f (a). En général, l’inclusion est stricte
(utiliser la théorie de Fredholm, cf. III, à paraître).
6) Soit A une algèbre de Banach commutative unifère.
a) Si j est un idempotent de A, on a exp(2iπj) = 1 et exp(iπj) = 1 − 2j.
b) Soit p ∈ A tel que exp(p) = 1. Alors Sp A (p) se compose d’un nombre fini
de points de la forme 2inπ, où n ∈ Z.
c) Pour λ ∈ Sp A (p), on a :
1
0
exp(t(p − λ1)) dt = (1 − exp(−λ))(λ1 − p)
−1 .