TS I.172
EXERCICES
§ 3
un unique sous-ensemble fermé S ⊂ X tel que I est l’ensemble des f ∈
C (X, M n (C)) dont la restriction à S est nulle.
29) * Soit X une variété réelle compacte. On munit C
∞ (X) de la topologie
de la convergence uniforme des fonctions et de toutes leurs dérivées ; c’est un
espace de Fréchet. Soit A une sous-algèbre de C (X). On suppose que A est
munie d’une norme f → →f A qui en fait une algèbre de Banach, telle que
l’injection canonique de A dans C (X) est continue. On suppose de plus que
C
∞ (X) est contenu et dense dans A.
a) Il existe une constante C 0 et un entier k ∈ N tels que pour tout
f ∈ C
∞ (X), on a
f A C sup
x∈X
|f
(k) (x)|.
b) La sous-algèbre A est pleine dans C (X). (Soient f ∈ A ne s’annulant pas
sur X et δ = inf x∈X |f (x)| ; choisir g ∈ C
∞ (X) tel que f − g A < δ/3, puis
noter que f
−1 = g
−1
n∈N ((g − f )/g)
n dans C (X), et vérifier que la série
converge dans A.)
c) En déduire une nouvelle preuve du théorème de Wiener (I, p. 38,
exemple). *
§ 4
Dans les exercices ci-dessous, toutes les algèbres considérées sont sur C,
sauf mention explicite du contraire.
1) Soient n 1 un entier et A = L (C
n ). Soient α ∈ C et x ∈ A un élément
dont la matrice relative à la base canonique de C
n est une matrice de Jordan
d’ordre n et de valeur propre α (A, VII, p. 34, déf. 3). Le spectre de x est
réduit à α.
a) Pour f ∈ O({α}), calculer la matrice relative à la base canonique de C
n
qui représente f (x).
Soit m 1 un entier. Soit B m l’algèbre de Banach unifère des jets de fonctions de classe C
m au voisinage de α munie de la topologie de la C
m -convergence uniforme (VAR, R2, §12).
b) Il existe un morphisme continu d’algèbres unifères de B m−1 dans A tel
que ϕ(z) = x, où z ∈ B m−1 est le jet d’ordre m − 1 en α de la fonction
identique de C.
c) Il n’existe pas de morphisme continu ϕ d’algèbres unifères de B m dans
A tel que ϕ(z) = x, où z ∈ B m est le jet de la fonction identique de C.
EXERCICES
§ 3
un unique sous-ensemble fermé S ⊂ X tel que I est l’ensemble des f ∈
C (X, M n (C)) dont la restriction à S est nulle.
29) * Soit X une variété réelle compacte. On munit C
∞ (X) de la topologie
de la convergence uniforme des fonctions et de toutes leurs dérivées ; c’est un
espace de Fréchet. Soit A une sous-algèbre de C (X). On suppose que A est
munie d’une norme f → →f A qui en fait une algèbre de Banach, telle que
l’injection canonique de A dans C (X) est continue. On suppose de plus que
C
∞ (X) est contenu et dense dans A.
a) Il existe une constante C 0 et un entier k ∈ N tels que pour tout
f ∈ C
∞ (X), on a
f A C sup
x∈X
|f
(k) (x)|.
b) La sous-algèbre A est pleine dans C (X). (Soient f ∈ A ne s’annulant pas
sur X et δ = inf x∈X |f (x)| ; choisir g ∈ C
∞ (X) tel que f − g A < δ/3, puis
noter que f
−1 = g
−1
n∈N ((g − f )/g)
n dans C (X), et vérifier que la série
converge dans A.)
c) En déduire une nouvelle preuve du théorème de Wiener (I, p. 38,
exemple). *
§ 4
Dans les exercices ci-dessous, toutes les algèbres considérées sont sur C,
sauf mention explicite du contraire.
1) Soient n 1 un entier et A = L (C
n ). Soient α ∈ C et x ∈ A un élément
dont la matrice relative à la base canonique de C
n est une matrice de Jordan
d’ordre n et de valeur propre α (A, VII, p. 34, déf. 3). Le spectre de x est
réduit à α.
a) Pour f ∈ O({α}), calculer la matrice relative à la base canonique de C
n
qui représente f (x).
Soit m 1 un entier. Soit B m l’algèbre de Banach unifère des jets de fonctions de classe C
m au voisinage de α munie de la topologie de la C
m -convergence uniforme (VAR, R2, §12).
b) Il existe un morphisme continu d’algèbres unifères de B m−1 dans A tel
que ϕ(z) = x, où z ∈ B m−1 est le jet d’ordre m − 1 en α de la fonction
identique de C.
c) Il n’existe pas de morphisme continu ϕ d’algèbres unifères de B m dans
A tel que ϕ(z) = x, où z ∈ B m est le jet de la fonction identique de C.