§ 3
EXERCICES
TS I.171
26) Soient X un espace topologique compact et E un espace de Banach
complexe, dont on note ·· E la norme. On note C (X, E) l’espace vectoriel
complexe des fonctions continues de X dans E.
a) Muni de la norme
f = sup
x∈X
f (x) E ,
l’espace C (X, E) est un espace de Banach.
b) Soit B le sous-espace vectoriel de C (X, E) engendré par les fonctions
x → f (x)y, où f ∈ C (X) et y ∈ E. Montrer que B est dense dans C (X, E).
Dans la suite, on considère une algèbre de Banach commutative A.
c) Muni de la multiplication (f g)(x) = f (x)g(x) pour tout x ∈ X, l’espace
de Banach C (X, A) est une algèbre de Banach commutative.
d) Tout caractère χ ∈ X(C (X, A)) est de la forme f →
χ(f (x)), où
χ ∈ X(A)
et x ∈ X. (Traiter d’abord le cas où A est unifère et 1 = 1 ; considérer la
restriction de χ à C (X) · 1 et à l’image de l’homomorphisme A → C (X, A)
qui envoie a sur la fonction constante x → a).
e) L’application de X(A) × X dans X(C (X, A)) qui à ( χ, x) associe le caractère f →
χ(f (x)) est un homéomorphisme.
27) Soit A une algèbre de Banach commutative unifère sur C. Un sousensemble fermé F de X(A) est appelé un bord de A si on a
sup
χ∈X(A)
|χ(x)| = sup
χ∈F
|χ(x)|
pour tout x ∈ A.
a) Ordonnons l’ensemble des bords de A par l’inclusion. Il existe un bord
minimal.
b) Soit S un bord minimal de A. Tout bord de A contient S, donc S est
l’intersection de tous les bords de A. (Soit F un bord de A ; montrer que
pour tout x ∈ S, tout voisinage U de x rencontre F ; utiliser pour cela le fait
que S U n’est pas un bord de A.)
On dit que S est le bord de Shilov de A, et on le note ∂A.
c) Si l’image de la transformation de Gelfand de A est dense dans C (X(A)),
le bord de Shilov de A est égal à X(A).
d) Soit A l’algèbre des fonctions continues sur le disque unité ∆ des z ∈ C
tels que |z| 1 qui sont holomorphes à l’intérieur de ∆ (exemple 9 de I,
p. 20). Alors X(A) s’identifie à ∆ (exercice 6 de I, p. 193) et le bord de Shilov
de A s’identifie au cercle unité U.
28) Soient X un espace topologique compact et n un entier 1. Soit I
un idéal bilatère de l’algèbre de Banach C (X, M n (C)). Montrer qu’il existe
EXERCICES
TS I.171
26) Soient X un espace topologique compact et E un espace de Banach
complexe, dont on note ·· E la norme. On note C (X, E) l’espace vectoriel
complexe des fonctions continues de X dans E.
a) Muni de la norme
f = sup
x∈X
f (x) E ,
l’espace C (X, E) est un espace de Banach.
b) Soit B le sous-espace vectoriel de C (X, E) engendré par les fonctions
x → f (x)y, où f ∈ C (X) et y ∈ E. Montrer que B est dense dans C (X, E).
Dans la suite, on considère une algèbre de Banach commutative A.
c) Muni de la multiplication (f g)(x) = f (x)g(x) pour tout x ∈ X, l’espace
de Banach C (X, A) est une algèbre de Banach commutative.
d) Tout caractère χ ∈ X(C (X, A)) est de la forme f →
χ(f (x)), où
χ ∈ X(A)
et x ∈ X. (Traiter d’abord le cas où A est unifère et 1 = 1 ; considérer la
restriction de χ à C (X) · 1 et à l’image de l’homomorphisme A → C (X, A)
qui envoie a sur la fonction constante x → a).
e) L’application de X(A) × X dans X(C (X, A)) qui à ( χ, x) associe le caractère f →
χ(f (x)) est un homéomorphisme.
27) Soit A une algèbre de Banach commutative unifère sur C. Un sousensemble fermé F de X(A) est appelé un bord de A si on a
sup
χ∈X(A)
|χ(x)| = sup
χ∈F
|χ(x)|
pour tout x ∈ A.
a) Ordonnons l’ensemble des bords de A par l’inclusion. Il existe un bord
minimal.
b) Soit S un bord minimal de A. Tout bord de A contient S, donc S est
l’intersection de tous les bords de A. (Soit F un bord de A ; montrer que
pour tout x ∈ S, tout voisinage U de x rencontre F ; utiliser pour cela le fait
que S U n’est pas un bord de A.)
On dit que S est le bord de Shilov de A, et on le note ∂A.
c) Si l’image de la transformation de Gelfand de A est dense dans C (X(A)),
le bord de Shilov de A est égal à X(A).
d) Soit A l’algèbre des fonctions continues sur le disque unité ∆ des z ∈ C
tels que |z| 1 qui sont holomorphes à l’intérieur de ∆ (exemple 9 de I,
p. 20). Alors X(A) s’identifie à ∆ (exercice 6 de I, p. 193) et le bord de Shilov
de A s’identifie au cercle unité U.
28) Soient X un espace topologique compact et n un entier 1. Soit I
un idéal bilatère de l’algèbre de Banach C (X, M n (C)). Montrer qu’il existe