TS I.170
EXERCICES
§ 3
homéomorphe à l’ensemble des (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R
3 tels que x
2
1 + x
2
2 x
2
3 et
0 x 3 1.
21) a) Soit (X λ ) λ∈Λ une famille d’indéterminées. Pour toute série formelle
f ∈ C[[(X λ )]] λ∈Λ , soit f la somme des valeurs absolues de ses coefficients.
Soit A l’ensemble des f ∈ C[[(X λ )]] λ∈Λ telles que f < +∞. Munie de
l’addition et de la multiplication usuelle, A est une algèbre de Banach unifère
commutative sans radical.
b) Pour toute algèbre de Banach unifère commutative B, il existe une algèbre A du type de a) et un morphisme unifère continu de A sur B.
22) Soit Ω une partie compacte de C
n . L’application
(z 1 , . . . , z n ) −→ (z 1 , . . . , z n , z 1 , . . . , z n )
est un homéomorphisme de Ω sur une partie compacte polynomialement
convexe de C
2n . (Soient A = C (Ω), z i les fonctions coordonnées sur C
n .
Alors (z i |Ω, z i |Ω) 1in est un système générateur topologique de A, et l’application considérée est l’application de X(A) = Ω dans C
2n définie par ce
système générateur topologique.)
23) Notons Ω l’ensemble des (z 1 , z 2 ) ∈ C
2 tels que |z 1 | 1, |z 2 | 1. Soient
α ∈ [0, 1] et Ω α l’ensemble des (z 1 , z 2 ) ∈ C
2 tels que
|z 1 | 1,
|z 2 | (1 − α)|z 1 | + α.
a) Les complémentaires de Ω et Ω α dans C
2 sont connexes.
b) Ω est l’enveloppe polynomialement convexe de Ω α . (Si (z
0
1 , z
0
2 ) ∈ Ω et si
P ∈ C[z 1 , z 2 ], il existe z ∈ C tel que |z| = 1 et |P(z
0
1 , z
0
2 )| |P(z, z
0
2 )| ; or
|P(z, z
0
2 )|
sup
(z1,z2)∈Ωα
|P(z 1 , z 2 )|.)
24) Soit n 1. Il existe une partie fermée convexe de C
n qui n’est pas
polynomialement convexe.
25) Soit A une algèbre localement m-convexe complète commutative unifère
(cf. I, p. 165, exerc. 37).
a) Un élément x de A est inversible si et seulement si χ(x) = 0 pour tout
caractère continu χ de A. Le radical de A est l’intersection des noyaux des
caractères continus de A, donc est fermé.
b) Dans l’exemple e) de l’exercice 37 de I, p. 165, soit I l’idéal formé des
f telles que f (n) = 0 pour tout entier n > 0 assez grand. Alors tout idéal
maximal contenant I est dense et de codimension infinie.
EXERCICES
§ 3
homéomorphe à l’ensemble des (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R
3 tels que x
2
1 + x
2
2 x
2
3 et
0 x 3 1.
21) a) Soit (X λ ) λ∈Λ une famille d’indéterminées. Pour toute série formelle
f ∈ C[[(X λ )]] λ∈Λ , soit f la somme des valeurs absolues de ses coefficients.
Soit A l’ensemble des f ∈ C[[(X λ )]] λ∈Λ telles que f < +∞. Munie de
l’addition et de la multiplication usuelle, A est une algèbre de Banach unifère
commutative sans radical.
b) Pour toute algèbre de Banach unifère commutative B, il existe une algèbre A du type de a) et un morphisme unifère continu de A sur B.
22) Soit Ω une partie compacte de C
n . L’application
(z 1 , . . . , z n ) −→ (z 1 , . . . , z n , z 1 , . . . , z n )
est un homéomorphisme de Ω sur une partie compacte polynomialement
convexe de C
2n . (Soient A = C (Ω), z i les fonctions coordonnées sur C
n .
Alors (z i |Ω, z i |Ω) 1in est un système générateur topologique de A, et l’application considérée est l’application de X(A) = Ω dans C
2n définie par ce
système générateur topologique.)
23) Notons Ω l’ensemble des (z 1 , z 2 ) ∈ C
2 tels que |z 1 | 1, |z 2 | 1. Soient
α ∈ [0, 1] et Ω α l’ensemble des (z 1 , z 2 ) ∈ C
2 tels que
|z 1 | 1,
|z 2 | (1 − α)|z 1 | + α.
a) Les complémentaires de Ω et Ω α dans C
2 sont connexes.
b) Ω est l’enveloppe polynomialement convexe de Ω α . (Si (z
0
1 , z
0
2 ) ∈ Ω et si
P ∈ C[z 1 , z 2 ], il existe z ∈ C tel que |z| = 1 et |P(z
0
1 , z
0
2 )| |P(z, z
0
2 )| ; or
|P(z, z
0
2 )|
sup
(z1,z2)∈Ωα
|P(z 1 , z 2 )|.)
24) Soit n 1. Il existe une partie fermée convexe de C
n qui n’est pas
polynomialement convexe.
25) Soit A une algèbre localement m-convexe complète commutative unifère
(cf. I, p. 165, exerc. 37).
a) Un élément x de A est inversible si et seulement si χ(x) = 0 pour tout
caractère continu χ de A. Le radical de A est l’intersection des noyaux des
caractères continus de A, donc est fermé.
b) Dans l’exemple e) de l’exercice 37 de I, p. 165, soit I l’idéal formé des
f telles que f (n) = 0 pour tout entier n > 0 assez grand. Alors tout idéal
maximal contenant I est dense et de codimension infinie.